Пут-колл паритет. Безрисковый арбитраж

Начинающий трейдер на Мосбирже обычно не начинает свое знакомство с финансовыми рынками с опционов и не знаком с преимуществами и недостатками опционов перед линейными производными инструментами, такими как фьючерсы или форварды. Опционы доступны для каждого базового актива не только с разной датой экспирации, покупкой или продажей базового актива, но и с разной ценой поставки (страйком опциона). А так же покупка опциона во многом отличается от его продажи. Легко запутаться и войти в сделку по невыгодной цене, особенно на таком рынке как российский. Данная статья рассмотрит один из главных принципов, который важен при оценке стоимости опционной позиции и поможет принять решение, входить ли в сделку по предлагаемой рыночной цене, стоит ли выставить свою лимитную заявку в стакане или лучше вообще отказаться от торговой идеи.

Базовые понятия

Вспомним что же такое опционы и какие права и обязательства они предоставляют сторонам сделки. Опцион колл (call) — это ценная бумага, дающее право, но не обязательство, её владельцу купить базовый актив (например акцию или товар) по определенной цене в определенный день. Например, колл-опцион на акцию Газпрома со страйк-ценой 100 рублей и экспирацией через месяц дает право купить акцию по цене 100 рублей ровно через месяц. За это право покупатель опциона платит премию, к примеру 5 рублей. Если через это время акция торгуется с ценой 105 и выше, покупателю выгодно реализовать свою право и выкупить акцию за 100 рублей, как указано в опционном в контракте. Если же нет, то покупатель теряет максимум 5 рублей. Таким образом, купленный опцион позволяет занять позицию с потенциально неограниченной прибылью, акция может взлететь за месяц насколько угодно, и ограниченным убытком. P/L (прибыль/убыток) покупателя считается по формуле:

P/L = MAX(0, S_T — X) — C

Где:

• S_T — цена базового актива на момент экспирации опциона.
• X — страйк-цена опциона (цена исполнения).
• C — премия (цена), уплаченная за опцион.

Функцию прибыли/убытка в день экспирации можно изобразить на графике:

Какого же положение дел для продавца опциона колл? Его убыток неограничен, но он гарантированно получает премию. Это можно сравнить с продажей страховки. Его P/L считается как:

P/L = C — MAX(0, S_T — X)

Где:

• C — премия (цена), полученная за продажу опциона.
• S_T — цена базового актива на момент экспирации.
• X — страйк-цена опциона.

График его финансового результата выглядит уже так:

Покупатель колла выигрывает от роста цены на базовый актив, а продавец проигрывает, от падения наоборот. Что же если покупатель хочеть получить возможность потенциально неограниченной прибыли с ограниченным убытком при падении цены на базовый актив? Дл этого существуют опционы пут. Соотвественно опцион пут (put) — это ценная бумага, дающее право, но не обязательство, её владельцу продать базовый актив (например акцию или товар) по определенной цене в определенный день.

Примечание: теоретически акция не может стоить ниже нуля, так что формально прибыль по опциону пут для покупателя в этом случае таки ограничена. Для товаров это уже не так, вспоминаем апрель 2020 года для нефти.

К примеру, пут-опцион на акцию Газпрома со страйк-ценой 100 рублей и экспирацией через месяц дает право продать акцию по цене 100 рублей ровно через месяц. Продажа может осуществляться как и имеющихся акций, так и открытии позиции в шорт. Покупатель платит премию за право продать актив по страйку. Он выигрывает от падения цены. Формула будет следующуей:

P/L = MAX(0, X — S_T) — P

Где:

• X — страйк-цена.
• S_T — цена актива на экспирации.
• P — премия, уплаченная за пут-опцион.

Продавец получает премию, но обязан купить актив по страйку, если этого захочет покупатель. Он выигрывает, когда цена не падает.

P/L = P — MAX(0, X — S_T)

Где:

• X — страйк-цена.
• S_T — цена актива на экспирации.

• P — премия, полученная за продажу пута.

Так же как и с опционом колл, прибыль покупателя это убыток продавца и наоборот. Графики для них будут выглядеть так:

Пут-колл паритет

Рассмотрим же теперь страйк отличный от текущей цены, например 110 рублей. Если цена на акцию равна 100 рублям, то пут со страйком 110 будет стоить дороже, так как он может быть экспирирован с ненулевой прибылью при цене 110 и ниже. Положим его стоимость в 12 рублей.

Трейдеры нередко используют опционы вкупе с акциями и другими акциями. Рассмотрим портфель из опциона пут и акции, такую комбинацию называют защитным путом. Какова наименьшая возможная стоимость портфеля без учета дивидендов? Если цена за акцию упадет ниже 110, то убыток с акции покроект прибыль с пута, значит минимальная стоимость данного портфеля равна 110 рублям, максимальная стоимость неограничена. Максимальный возможный убыток портфеля равен 2 рублям, прибыль равна росту цены акции минус 2 рубля. Приведем график прибыльности портфеля, он выглядит идентично графику прибыльности опциона колл:

Это означает две вещи:

1. Прибыль/убыток позиции эквивалентна прибыли/убытку колл опциона с премией 2 рубля
2. Стоимость позиции эквивалентна стоимости колл опциона + 110 рублей наличными

Таким образом мы приходим к соотношению цены опционов колл и пут с одинаковым страйком и экспирацией, которую называют пут-колл паритетом. Формула версии без учета процентной ставки и дивидендов выглядит так:

P + S = C + K

Где:

• C — цена колл-опциона (call)
• P — цена пут-опциона (put)
• S — текущая цена акции (спот)
• K — страйк опциона (цена исполнения)

Стоимость к примеру колла через пут, цену страйк и цену акции мы можем теперь выразить алгебраически как:

C = P + S − K

Безрисковая ставка

Мы рассмотрели два портфеля с идентичными выплатами, первый портфель состоял из акции и пута, второй из колла и наличных в размере страйка, в примере 110 рублей. Многие читатели знают, что свободные наличные можно положить на депозит или купить на них короткие ОФЗ, облигации с наименьшим риском дефолта. Чтобы учесть данный эффект, стоимость страйка нужно дисконтировать, то есть домножить на e^(-rT) — дисконт-фактор (сколько стоит 1 рубль через время T при ставке r). Если стоимость наличных денег в портфеле уменьшится, то колл должен стоить дороже, а пут дешевле. Формула пут-колл паритета с учетом безрисковой ставки приводится в вид:

P + S = C + K × e^(-rT)

Где:

• C — цена колл-опциона
• P — цена пут-опциона
• S — текущая цена акции
• K — страйк
• r — безрисковая процентная ставка (годовых, в десятичном виде, например 10% = 0.10)
• T — время до экспирации опционов (в годах, например 3 месяца = 0.25)

Выражая стоимость колла через пут:

C = P + S − K × e^(-rT)

К примеру, если рассмотреть экспирацию не через месяц, а через полгода, с безрисковой ставкой 10% стоимость страйка домноживается на e^(-0.10 × 0.5) ≈ 0.9512, 110 × 0.9512 ≈ 104.63 руб. Если положить стоиость пута неизменной в 12 рублей, колл должен стоить 12 + 100 − 104.63 ≈ 7.37 руб, то есть вырасти в цене. Если же зафиксировать стоимость колла, пут должен стоить 2 + 104.64 − 100 = 6.64 рубля, упасть.

Текущие безрисковые ставки можно посмотреть например на сайте Центробанка

Учет дивидендов

Если в период владения опционов акция выплачивает дивиденды, то в рассмотренном примере владелец портфеля из акции и пута их получит, а владелец колла и наличных нет. Поэтому чем больше ожидаемые дивиденды, тем выше стоимость пута и ниже стоимость колла. Чтобы сравнивать портфели честно, из стоимости «акция + пут» нужно вычесть сегодняшнюю ценность этих будущих дивидендов PV(D). Финальная версия с учетом процентов и дивидендов выглядит так:

P + S − PV(D) = C + K × e^(-rT)

Или переставленная:

C = P + S − PV(D) − K × e^(-rT)

Где:

• PV(D) — текущая (дисконтированная) стоимость всех дивидендов, которые будут выплачены по акции до экспирации опциона.
• Остальные обозначения те же.

Предположим, что через 3 месяца дивиденды на акцию составят 4 рубля. Дисконтируем его: PV(D) = 4 × e^(-0.10×0.25) ≈ 4 × 0.9753 ≈ 3.90 руб.) Таким образом, при стоимости колла в 2 рубля пут будет стоить 2 + 104.64 − 100 + 3.90 ≈ 10.54 руб.

Безрисковый арбитраж

Все приведенные выше расчеты основаны на постулате что если доходность двух портфелей идентична, то их стоимость должна быть одинаковой. Это так, поскольку в противном случае возникает возможность безрискового арбитража. Рассмотрим теперь вполне реальный пример опционов на акции Газпрома с недельной экспирацией. Так как срок жизни опционов короткий, ставкой дисконтирования пренебрегаем, дивиденды на неделе с 24 по 30 декабря 2025 года не выплачиваются. Цена акции на момент просмотра цен равна 124,65.

Отбрасывая явно неликвидные страйки рассмотрим нарушение пут-колл паритета на страйке 120. Если взять цену аск пута за исходную, колл должен стоить 0,53 + 124,65 — 120 = 5.18 рублей. Предположим что ушлый арбитражер продает трейдеру колл опцион по аску 8,57 рублей. Тогда арбитражер должен купить пут за 0,53 рубля и купить акцию за 124,65 рублей.

Позиция проданный колл + купленный пут называется синтетическим шортом (продажей) актива. Купленный колл и проданный пут называется синтетическим лонгом (покупкой). Прибыль/убыток синтетической шорт позиции будет покрыта прибылью/убытком покупки акции. Таким образом арбитражер получит гарантированную прибыль в 8,57 — 5,18 = 3.19 рублей на опцион или же примерно 39% от цены опциона до комиссию. Несчастному трейдеру теперь должно сильно повезти чтобы его купленные колы хотя бы покрыли убытки.

На реальных рынках арбитражные возможности быстро улетучиваюстя. Так в изначальном примере цена аск за колл пришла к 5,5 рублям, нарушение идеальных условий тут небольшое.

Итог

Из реального примера мы видим что следует проверять условие соблюдения пут-колл паритета. Если при входе по рыночным ценам от несоблюдения паритета бумажный убыток составит большую сумму то стоит выставить лимитную заявку по лучшей цене или вообще отказаться от сделки.

Используя формулу пут-колл паритета можно искать арбитражные возможности, которые однако быстро находятся и эксплуатируются другими трейдерами.