Волатильность пропорциональна sqrt(T), почти

На графике — волатильность (scale параметр условного распределения лог прибыли) в зависимости от периода времени. Экономисты правы, броуновское движение неплохо приближает. В диапазоне 1%-99% просто идеально прямые линии.


За пределами 1-99 линии начинают изгибаться, видимо проявляется что движение все таки не броуновское, тяжелые хвосты, кластеры волатильности и все такое.

Как сделан график. Периоды времени [1, 7, 14, 30, 91, 182, 365, 730, 1095] дней. Для каждого периода сделан фиттинг GARCH. Данные 250 акций, дневные цены за 50 лет, это 250х12600 дней в сумме. На каждый день предсказана волатильность. Затем по предсказанной волатильности посчитаны квантили (цвет линий). Волатильность это scale параметр предсказанного условного распределения.

Неожиданно, я не думал что будет такое хорошее приближение. Это значит если нас устраивает диапазон 1-99%, мы можем забить на сложности, и использовать простую формулу vol_T=vol*sqrt(T).