Модель Блэка – Шоулза (Black – Scholes OPM) простыми словами.

Математика данной модели слишком сложна для тех, кто давно учился в школе, хотя она легко может быть просчитана в Excel. Понимание работы может дать упрощенная версия – биноминальная модель.

Предположим, что возможно только два сценария: рост или снижение цены акции. Для акции стоимостью 1000 рублей это может быть 1500 или 750 рублей через 1 год.

Т.е. если акция вырастет до 1500 рублей к концу года, то call-опцион будет стоить 500 рублей, а если акции снизится, то опцион ничего стоить не будет, т.к. никто не захочет купить что-то за 1000, когда это можно купить на рынке за 750 рублей.

Инвестор может сформировать портфель, который будет иметь одинаковую стоимость через год, независимо от движения рынка. Такой портфель может быть сформирован покупкой 2/3 акции и продажей одного call-опциона со страйком 1000 рублей. «Две-третьих» — это коэффициент хеджирования, формула его расчета ниже.

Безрисковый доход инвестора составляет 500 рублей, независимо от движения рынка:

Если цена акции растет, то покупатель опциона его исполняет, а продавец, должен поставить акцию, но имеет только 2/3, поэтому покупает еще 1/3.

Теперь простая формула расчёта коэффициента хеджирования:

(Цена опциона, акция ↑ — Цена опциона, акция ↓) / (Цена акции ↑ — Цена акции ↓) = 500/750 = 2/3

Если доход инвестора полностью захеджирован, т.е. результат один и тот же независимо от движения рынка, то доходностью такой инвестиции должна являться безрисковая ставка, в нашем примере она равна 10%.

Выше мы видели, что инвестор захеджировал свой доход. Если он покупает 2/3 акции и продает один call-опцион, то такая покупка будет ему стоить 666,67 рублей (2/3*1000) минус премия, которую он получил от продажи опциона, «С». Такая инвестиция, так как она полностью захеджирована, должна принести годовую безрисковую ставку, которая в нашем примере составляет 10%. С учетом вышесказанного, стоимость call-опциона «С», может быть вычислена с помощью простого уравнения:

[(Коэффициент хеджирования*(Цена акции) – С] *(1 + Безрисковая ставка) = Безрисковый доход

[2/3*(1000) – С] *(1+ 10%) = 500

Получаем, что стоимость опциона «С», составляет 212 рублей.

Модель Блэка – Шоулза работает по такой же логике, только в отличие от нашей модели, где мы рассмотрели два сценария (1500 и 750 рублей) через год, сценарии могут быть на каждый день или даже минуту. Если мы будем разбивать биноминальную модель на периоды (год, квартал, месяц, неделя, день и т.д.), то по мере сокращения периода ее результат будет сходиться с результатом рассчитанным по модели Блэка – Шоулза.