Физико-математические основы Грааля. Часть 2

При обсуждении основ построения граальной ТС, у страждущих возникли философские вопросы:
1. а где математика, где вожделенные формулы?
2. а зачем нужно распределение Эрланга для интервалов времени между котировками? Мы-де привыкли все делать, используя OHLC, и Грааль и так уже давно у нас в руках.

Постараюсь ответить на эти вопросы.

1. Вся математика с вожделенными формулами описана в теории диффузионных случайных процессов. Могу порекомендовать следующую литературу:
Гардинер К.В. «Стохастические методы в естественных науках»
Попов П.В. «Диффузия»
применительно к финансам:
Rama Cont, Peter Tonkov «Financial Modelling with jump processes»

Фактически, все сводится к анализу уравнений Ланжевена или Фоккера-Планка для движения диффундирующей частицы.

Для практических целей, необходимо изучить вид распределения приращений протекающего процесса и воспользоваться формулами конкретной подходящей модели.
К примеру, вид распределения приращений цены на рынке подобен распределению приращений для Variance Gamma Process:

Посмотреть можно здесь:
https://demonstrations.wolfram.com/TheReturnDistributionOfTheVarianceGammaProcess/

Прекрасно.

Этот процесс записывается в виде
$Физико-математические основы Грааля. Часть 2$ (1)

и имеет следующие центральные моменты

The mean of a variance gamma process is independent of $\sigma$ and $\nu$ and is given by

$E[X(t)] = \theta t$

The variance is given as

$Var[X(t)] = (\theta^2 \nu + \sigma^2)t$
Этот процесс имеет свойство «возврата к среднему» (mean reversion process) как и процесс Орнштейна-Уленбека для гауссовских приращений.
Т.о. стратегия ТС, основанная на применимости Variance Gamma Process к рынку, должна быть построена на возврате цены с среднему значению после ее выхода за пределы дисперсионного канала.

Корректно или нет определение среднего как
$E[X(t)] = \theta t$ (2)

именно к рыночному процессу — вопрос открытый, т.к. задает простое смещение (дрейф) протекающего марковского процесса, а на рынке необходим учет немарковости, но это отдельная обширная тема для разговора...

2. Итак, понятно, что цена, в первом приближении, имеет свойство возврата к среднему, после ее выхода за пределы дисперсионного канала, определяемого вторым центральным моментом
$Var[X(t)] = (\theta^2 \nu + \sigma^2)t$ (3)

Но, на рынке, как обычно, все не так просто....
Время t здесь принципиально нелинейно и воспользоваться этой формулой напрямую мы не можем. Необходимо учитывать поправки, вносимые этой нелинейностью.

Изучая природу протекающего процесса, можно прийти к выводу, что поток событий (приход новых тиковых котировок) удовлетворяет некоему процессу Пальма для каждого конкретного поставщика. Вывести формулы под конкретный процесс достаточно трудоемко. Поэтому, необходимо свести процесс к известному процессу Эрланга.

Получив вожделенный поток Эрланга с определенным порядком k и интенсивностью lambda=tau/t, где tau — количество котировок, пришедших за время t, необходимо использовать среднее значение времени протекающего процесса Mean(t)=k/lambda=(k*t)/tau.

Подставляя полученное выражение в формулу (3), получим уточненную формулу для дисперсии процесса в нелинейном времени, принадлежащего к распределению Эрланга.

М-да.....

Продолжение, наверное, следует...
Toddler.

случайный процесс

Toddler

Москва

152

1 435

с 5 октября 2019

49 Комментариев

VladMih
20 декабря 2020, 13:02
Эхх, ваши бы знания к моим добавить… Так не хватает математика...
Вообще для грааля нужна триада — прогер+трейдер+математик.
В идеале это один чел, но может быть и три, если друг друга слышат.

Этот пост плюсанул за то, что них не понял )))
0
SergeyJu
20 декабря 2020, 13:09
Непонятно.
Если часть ценовых рядов имеет более-менее выраженную персистентность, как это укладывается в антиперсистентность Вашей идеальной модели.
Почему Вы вообще решили, что она подходит для всех ценовых рынков. Нас учили во времена торжествующего Учения, что критерий истины — практика. У Вас есть практическое доказательство необходимости использовать именно такой математический инструментарий?
+1
wot
20 декабря 2020, 13:15
The variance gamma process is a high-activity pure-jump Lévy process—that is, unlike for example the Merton Jump Diffusion Process—it does not contain a continuous martingale component. It has an infinite number of jumps in any finite interval of time, but only finitely many of them are larger than any specified positive real number. The exponential variance gamma model has been shown to perform better in modelling stock returns than the Black–Scholes model
0
Михаил К.
20 декабря 2020, 13:30
Мне кажется все это можно описать одним словом — демагогия.
+5

Читайте на SMART-LAB:

Итоги первичных размещений ВДО и некоторых розничных выпусков на 29 декабря 2025 г.

Следите за нашими новостями в удобном формате: Telegram , Youtube , Смартлаб , Вконтакте , Сайт

Иволга Капитал

29.12.2025

Экономисты сомневаются в резком снижении годовой инфляции в США в ноябре

Инфляция неожиданно и значительно замедлилась в ноябре, что, казалось бы, принесло долгожданные позитивные изменения в повседневной жизни американцев, уставших от устойчиво сохраняющейся высокой...

Just2Trade

29.12.2025

❤️ Подводим итоги года вместе с инвесторами МГКЛ

🎄 Этот год мы прошли вместе с вами — нашими инвесторами. Каждый день были на связи, отвечали на вопросы, делились новостями, обсуждали результаты и планы. В конце года хотим немного...