Где на рынке живут фракталы и тренды

В последние лет 20 фрактал из термина математического превратился в нечто общеупотребительное. Начало этому положил Бенуа Мандельброт, когда первым заговорил о фрактальной природе финансовых рынков. Потом случилось страшное — пришел Билл Вильямс и объявил фракталом комбинацию из трех пальцев баров, тут все и понеслось. Теперь фрактал такое же междометие в рыночных разговорах, как неэффективность и бифуркация.

В тексте ниже мы попробуем разобраться в следующих вопросах:
1. как фракталы связаны с трендом и контртрендом?
2. фрактален ли рынок?
3. существуют ли на рынке тренды и где они обитают?

Осторожно — многобукофф. Картинок не будет — не люблю я работать с картинками и формулами. К тому все любопытствующие много раз их видели в книгах Мандельброта, Федера, Петерса.

Начнем с отсутствующих картинок.
Во всех книгах вводится понятие показателя Херста (H) как меры фрактальности. 0<H<1. Он рассчитывается неким замысловатым образом по всем дискретизациям процесса (от самых маленьких таймингов до самых больших). У случайного блуждания H=0.5.

У всех трех упомянутых авторов присутствуют картинки персистентных и антиперсистентных процессов.
Персистентный процесс (показатель Херста 0.5<H<1) изменяется в меру плавно и только слегка колючий. В целом это похоже на график цены рыночного актива. При приближении H к 1 процесс все больше походит на обычную кривую.
Антиперсистентный процесс (показатель Херста 0<H<0.5) дергается почти на месте и сильно колючий. Похож на пилообразное движение вокруг медленно меняющегося сигнала, размах пилы в разы превышает амплитуду сигнала.

В целом персистентный процесс похож на развивающийся тренд, а антиперсистентный процесс — на боковик. Как мы знаем, на рынках эти состояния вполне могут перемежаться. У Мандельброта этого быть не может, т.к. в-основном он рассматривает самоподобные и самоаффинные фракталы, так что показатель Херста есть нечто внутренне присущее и навсегда заданное, а оценка H может меняться только из-за ширины окна наблюдения.
Также Мандельброт со товарищи предлагают посмотреть на графики цены финансовых активах в разных масштабах и утверждают, что их никак нельзя различить. Ну естественно — H же не меняется.

Попробуем придумать свой, локальный аналог показателя Херста. Назовем его Y-фактор (самая близкая в английском к нашей букве «Ы»).
Теперь включим «мозг трейдера».
Если процесс персистентный (трендовый) на определенном участке, то (как мне кажется) механические торговые системы (МТС), которые на этом участке дают максимальный профит, должны быть трендследящими.
Если же процесс антиперсистентный (контртрендовый), то (опять IMHO) МТС, которые на этом участке дают максимальный профит, должны быть контртрендовыми.

Выглядит достаточно логично — попробуем формализовать наши рассуждения вплоть до точного определения Y-фактора.
Пусть T — глубина окна MTC, X(n) — цена. Тогда торговое решение в момент времени n+1 будет зависеть только от T предыдущих отсчетов цены: x(n), x(n-1), ...., x(n-T+1).
Для упрощения расчетов будем рассматривать только линейные МТС. Пусть k(1), k(2), ..., k(T) — коэффициенты.
Тогда МТС покупает в момент времени n+1, если k(1)*X(n)+k(2)*X(n-1)+...+k(T)*X(n-T+1)>=0
Аналогично продает в момент времени n+1, если k(1)*X(n)+k(2)*X(n-1)+...+k(T)*X(n-T+1)<0

Теперь возьмем цену X(n) на интервале длиной N, все максимально линейные МТС с окном глубины T (T<<N) и устроим curve fitting по всем возможным наборам k(n).
Для упрощения и уточнения пусть k(1)^2+k(2)^2+...+k(T)^2=1. Т.е. все k(i) лежат на сфере размерности T-1 (и не превосходят 1 по модулю).
Поскольку сфера компактна — существует оптимальная МТС, дающая максимальный профит.
Определяем Y-фактор как k(1) у такой оптимальной МТС. Соответственно, -1<=Y<=1.

Легко сообразить, что если k(1)>0, то система трендовая (наибольшее влияние на короткий прогноз цены оказывает последнее ее изменение — X(n)-X(n-1), остальные слабее корреллированы с будущим изменением цены, при k(1)>0 это изменение будет учитываться с положительным знаком, значит при растущей цене скорее всего будет покупка и т.д.).
Также легко сообразить, что если k(1)<0, то система окажется контртрендовой.

Соответственно, берем любой ряд длиной N, выбираем T<<N и считаем Y.
Если Y>0, считаем процесс персистентным, если Y<0 — антиперсистентным, если Y близко к нулю — похожим на случайное блуждание.
Можно определить Y'=0.5*(Y+1) и получим практичеки Херст (расчеты показывают, что получается очень близко).

Как считать Y — вопрос весьма непростой.
Если это делать методом творческого тыка перебора, то вряд ли мы потянем T сильно больше 5. Опять же, если на сфере, параметризующей все возможные наборы k(n) отложить от поверхности Y (наружу, если он положительный, и внутрь, если отрицательный), то мы, к великому сожалению, получим нечто, сильно напоминающее ежик, т.е. опять типа фрактальное. Так что разные Монте-Карлы могут и не найти экстремум (((
К счастью, мне удалось построить семейство гладких функций от k(n), равномерно приближающее эквити соответствующих МТС. Тогда все сводится к одной классической задаче вариационного исчисления и считается достаточно быстро и очень точно.
В-общем, как-то мы его посчитаем (на самом деле случай T=5 это уже весьма неплохое приближение).

Ну блядь это и пиздце сука. Никого не хотел обидеть — закладка на случай, если модератор дочитал до этого места. Просьба не банить.

А ВОТ ТЕПЕРЬ НАЧИНАЕТСЯ НАСТОЯЩИЙ КОШМАР

ФРАКТАЛЕН ЛИ РЫНОК?

В классическом понимании — нет.
Расчеты показывают, что Y существенным образом зависит от временнного масштаба.
К примеру — возьмем минутки EURUSD лет за пять и посчитаем Y-фактор для 1, 2, 4, 8,… минуток. Что мы увидим
1. Для одного таймфрейма Y медленно меняется со временем
2. Для маленьких таймфреймов (минутки) Y всегда отрицательный (процесс антиперсистентный, а рынок — контртрендовый)
3. Для очень больших таймфремов (недели, месяцы) Y всегда положительный (процесс персистентный, а рынок — трендовый)
4. Y достаточно плавно зависит от логарифма длины таймфрейма
5. Существует таймфрейм, где Y примерно равен 0. В таком масштабе рынок неотличим от случайного блуждания

СУЩЕСТВУЮТ ЛИ НА РЫНКЕ ТРЕНДЫ И ГДЕ ОНИ ОБИТАЮТ?

Вроде как существуют — на длинных таймфреймах. Однако все не так просто. Ниже приведены результаты оценки Y для традиционных активах на дневках:
EURUSD, USDJPY, Brent, Light, XAUUSD, XAGUSD — тренд
DJI, S&P500, DAX, MICEX — контртренд
Для Вас, господа фондовики, это может означать, что выжимающие максимум из фонды трендовые системы должны сидеть в позе неделями и месяцами. Если же ваша система проводит в позиции несколько дней, точно существует (неизвестная нам) контртрендовая система, которая на том же таймфрейме покажет лучший результат.

Пока все.
Будет интересно — обсудим в формате дискуссии.
Не будет — похороним и спишем в архив.

Ну и традиционная просьба — лицам с аллергией на математику убедительная просьба в камментах не срать. Особенно про треугольники и кубики.
Мой блог — что вижу, о том и пою.