КОНКУРС: На случайном блуждании заработать невозможно - ответы и выводы

Добрый день, коллеги!

Огромное спасибо всем, кто откликнулся!
Плодотворную дискуссию (пока) устроить не удалось, т.к. (как обычно):
— кто-то написал полную ересь
— кто-то написал умные вещи, но не в кассу
— кто-то бодро начал (за здравие), но не закончил (за упокой)
Отдельно очень приятно, что в ветке не было срача и хамства. Видимо, у всех горячих голов я давно в ЧС — и это не может не радовать.

Поскольку на верный ответ никто не набрел (ну или недобрел...), позволю себе его опубликовать.

1. Пусть S — обычное случайное блуждание процесс с нулевым МО и дисперсией sigma
    Тогда он описывается стохастическим уравнением

    dS = sigma*S*dW

2. Пусть L — логнормальное случайное блуждание
    Тогда по лемме Ито он описывается стохастическим уравнением

    dL = (-(sigma^2)/2)*dt + sigma*dW

    т.е. имеем обобщенный винеровский процесс со средним -((sigma^2)/2)*T и дисперсией (sigma^2)*T

3. Отсюда получаем формулу плотности для логнормального распределения (можно и в лоб посчитать, если нелениво)

    (1/(корень(2*pi)*sigma*x))*exp((-1/(2*sigma^2))*ln(x)^2)

4. Теперь в лоб считаем первый и второй моменты (матожидание и дисперсию) — делается простой заменой переменной в обычном интерграле

    МО = exp((sigma^2)/2)
    Д = exp(sigma^2)*(exp(sigma^2)-1)

    Опять же — можно ничего не считать, а подсмотреть в Wiki, но это неспортивно )))

5. Теперь замечаем, что МО>0 (считаем, что sigma<>0), значит, оптимальная стратегия — это B&H (совершенно правы А.Г. и ch5oh, и bocha). Это просто
6. К сожалению, кривая Эквити стратегии B&H растет в среднем линейно. Более того, в данном случае применим закон повторного логарифма по Хинчину, так что

    при больших T почти всегда Эквити попадает в диапазон МО*T +- корень(2*Д*T*ln(ln(T))), что почти неотличимо от прямой

7. Соответственно, любой процесс с экспоненциальной Эквити (депозит, ОФЗ), рвет Эквити B&H как тузик — грелку. Тут было правильно написать, что итоговая Эквити есть o(exp(C*T)) для сколь угодно малого положительного C. Но я лоханулся в постановке базовых условий задачи, а исправлять было типа стыдно. Правда, никто на это и не указал.

Итак, хотя сам логнормальный процесс растет вроде по экспоненте, Эквити B&H растет линейно. Это интересно.

Как-то так. Сорри за многобукофф и малочитаемые формулы.

Теперь (для тех, кто дочитал до этого места) попробую объяснить, кому и зачем это было нужно:

— если Эквити Вашей торговой системы линейна, то это грустно. Сегодня вы зарабатываете 100 тыр с миллиона в год, завтра на счету уже 10 миллионов, но Вы по прежнему зарабатываете 100 тыр в год. Тогда уж лучше депо или ОФЗ
— если Вы считаете, что Ваша Эквити растет экспоненциально, то Вы должны понимать, какие конкретно рыночные неэффективности позволяют рассчитывать на столь благоприятный исход
Ну или в терминах уважаемых персон
— если нет систем с экспоненциальной Эквити, то прав Мовчан — всем нужно дружно уходить в fixed incomes
— если таковые системы есть, то прав А.Г., но это требует серьезного обоснования

С уважением и надеждой на дальнейшие плодотворные обсуждения