_sk_
_sk_ личный блог
13 декабря 2018, 10:07

Про математически оптимальное плечо

Решил написать пост для тех, кто хотел бы разобраться с математикой управления капиталом и расчётом оптимального плеча. Для лучшего понимания начнём с простого примера, потом обобщим его и выведем некоторую формулу. При этом понадобятся математические знания конца средней школы.

Допустим, мы придумали торговую систему, которая даёт следующие прибыли/убытки с равными шансами: -10%, +20%, -5% и +5%. Если сделать 4 трейда по этой системе, вкладывая весь имеющийся в наличии капитал, и каждый из исходов произойдёт ровно по одному разу, то капитал C превратится в
C*(1-0.1)*(1+0.2)*(1-0.05)*(1+0.05) = C*1.0773,
т.е. вырастет на 7.73%.

Пусть у нас есть возможность получить бесплатное плечо и вкладывать удвоенный капитал, тогда по сравнению с исходным капиталом прибыли/убытки составят уже -20%,  +40%, -10% и +10%. В этом случае исходный капитал после 4-х трейдов превратится в
C*(1-0.2)*(1+0.4)*(1-0.1)*(1+0.1) = C*1.1088,
т.е. вырастет на 10.88%, что выгоднее торговли по номиналу.

Если ещё увеличить плечо, скажем, вкладывая упятерённый капитал, то прибыли/убытки на исходный капитал будут -50%, +100%, -25% и +25%, а капитал после 4-х трейдов превратится в
C*(1-0.5)*(1+1)*(1-0.25)*(1+0.25) = C*0.9375,
т.е. капитал не вырос, а уменьшился на 6.25%. Что называется, перебрали с плечом.

Получается, что есть оптимальный коэффициент плеча k, для которого торговля будет самой выгодной. Это k можно подобрать, чтобы произведение
(1-k*0.1)*(1+k*0.2)*(1-k*0.05)*(1+k*0.05)
стало самым большим.

Оставим пока подбор k, и задумаемся, почему рассмотрены только 4 трейда, когда на практике их много. Дело в том, что если совершается большое число N трейдов, то примерно N/4 из них дадут -10%, примерно N/4 дадут +20% и т.д. Пренебрежём этим «примерно» (всё равно из-за случайности по всякому может быть), и будем считать, что точно по N/4 трейдов будет у каждого исхода. Тогда надо максимизировать
(1-k*0.1)^(N/4) * (1+k*0.2)^(N/4) * (1-k*0.05)^(N/4) * (1+k*0.05)^(N/4),
где знак ^ означает возведение в степень.

Мы можем убрать N из степени (поскольку большее положительное число при возведении в некоторую степень даёт больший результат, чем меньшее положительно число при возведении в ту же степень) и максимизировать выражение
(1-k*0.1)^(1/4) * (1+k*0.2)^(1/4) * (1-k*0.05)^(1/4) * (1+k*0.05)^(1/4).
Здесь показатели степеней 1/4 — не что иное, как вероятности каждого из исходов.

Теперь становится понятно, как обобщить исходный пример. Пусть есть трейды, которые случаются с вероятностями p1, ..., pn и дают прибыли/убытки x1, ..., xn. Для подбора оптимального плеча нужно найти такое k, что произведение
(1+k*x1)^p1 *… * (1+k*xn)^pn
будет максимально. Поскольку x и p — это некоторые известные числа, то произведение зависит только от k, т.е. является некоторой функцией f(k).

Я пропущу математические выкладки, поскольку:
1) кто знает, тот сообразит;
2) кто не знает, тот смотрит на итоговую приближённую формулу ниже;
3) кто хочет намёков, тот:
а) находит логарифм от произведения (его максимум достигается при том же k, что и у исходного произведения, а вычислять дальше будет проще),
б) вычисляет его производную и приравнивает к нулю (в точке максимума она нулевая);
в) решать полученное уравнение неудобно, поэтому заменить выражения вида 1/(1+k*x) по формуле геометрической прогрессии на 1-k*x+(k*x)^2 — … и пренебречь всеми членами, начиная с квадратов, после чего придти к уравнению на k, которое уже легко решить.

Итоговая приближённая формула имеет вид:
k = (p1*x1+...+pn*xn) / (p1*x1^2+...+pn*xn^2).

Замечания по поводу формулы понятны:
1) она приближённая, но можно подбирать точное значение k для максимума численно;
2) плечо не бесплатно, но это можно учесть отдельно;
3) в реальном трейдинге вероятности и прибыли/убытки либо неизвестны, либо могут меняться со временем;
4) случайность никуда не денется, может просто повезти/не повезти даже при оптимальных действиях.

В любом случае, лучше понимать, что происходит пусть в модельном примере и делать выводы уже применительно к трейдингу, чем вообще ничего не понимать.

Удачи в торговле!
57 Комментариев
  • Московский Лоссбой
    13 декабря 2018, 10:21
    Ральф Винс повержен! Наконец-то! 
  • однорукий экономист
    13 декабря 2018, 10:23
    кг/ам
  • Мой Госпöдин
    13 декабря 2018, 10:37
    С нужно рассматривать как константу и от этого плясать. Каждый раз выбирать размер позиции исходя из текущего значения баланса/эквити не разумно и не имеет смысла (при высокочастотной торговле). Если же принять, скажем, вариант, когда размер баланса увеличивается/уменьшается ну пусть в 2 раза (и после этого изменять размер позиции соответственно в 2 раза), тогда в приведенных примерах будет:
    1. +10%
    2. +20%
    3. 0
    Все просто и понятно, без всяких формул. Так же при таком раскладе очень легко посчитать максимум допустимых потерь (50%) и соответственно стоп в пунктах. Да и в целом любую систему нужно сначала проверять на соотношение прибыль/убыток при стабильной ставке и уже если это соотношение отличается от 50/50 (без учета спреда и комиссии) то дальше «мухлевать» с ММ. Для системы с большим количеством отрицательных сделок и малым положительных будет выгодна одна стратегия, если наоборот (много мелких положительных, и редкий, но большой стоп) то другая.
  • bocha
    13 декабря 2018, 10:45
    Красивые выкладки, но к сожалению, присутствует «ошибка Винса» — в качестве основы вычислений берется знание конечного результата.
    Я имею в виду знание будущих P(i). 
      • bocha
        13 декабря 2018, 10:58
        _sk_,   абсолютно согласен про «не перебрать — главное»
        Ведь есть же еще и редкие «нежданчики». 
        Сам всем говорю про «не перебрать», но ясен пень, никто не слушает ))
  • Fed Reserve
    13 декабря 2018, 10:54
    Комиссию брокера, биржи не забудьте, чем больше плечо, тем больше трейд и больше комиссия
  • Антон Денисков (Fry)
    13 декабря 2018, 12:05
    Опять сферический конь в вакууме =(
    А я было подумал, что вот нашёлся добрый человек и написал практически полезную статью для реальной торговли на срочке
    =(
      • Антон Денисков (Fry)
        13 декабря 2018, 12:29
        _sk_, эх! Не получилось затролить =). Жаль! Просто реально жду хорошую статью в максимально практическом ключе на примере срочки с ТС под один инструмент.
        • ch5oh
          13 декабря 2018, 13:34
          Fry (Антон), зачем ждать? Возьмите и напишите. =) Заодно сами получше разберетесь.
          • Антон Денисков (Fry)
            13 декабря 2018, 13:46
            ch5oh, я гуманитарий. Хоть и тянет меня на всякие числовые решения, но мозги здорово атрофировались, к сожалению. Сейчас чтобы более-менее адекватно что-то такое написать мне надо будет недели две копаться в коде. Да нет. Пожалуй уже месяц-два. Реально трейдинг ручной сделал из меня обезьяну! =(
        • Sergiovy
          13 декабря 2018, 13:45
          Fry (Антон), а чем вас не устраивает вариант 10 шт на контракт или там 15 или 25 или какая у вас чувствительность к риску? какие вы обычно ставите стопы? Вы их снимаете итд итп… понятно, что торгуя например внутри дня с маржой $500,- с жесткой дисциплиной по стопам, с известной вам обычно терпимой просадкой  — можно подумать о плече дополнительном, т.к. на том же ес мини  оно и так зашкаливает...
          Думаю, что в простую формулу это не вбить. Опять же про чутье немало написано. если есть понимание ( а иногда точно есть) что вот пошло… чего бы не торгануть 10 контрактами на 5000 капитала?
          • Антон Денисков (Fry)
            13 декабря 2018, 13:54
            Sergiovy, так и торгуем… Как дебил =)
            Хотя… Тут ещё как посмотреть, кто глупее, тот кто ищет точную формулу рынка или тот, кто с гаком на глазок по чуйке, но делает профит из года в год (это не про меня, я ещё лудоманю).

            ЗЫ на тему «пошло» был очень интересный разговор с Булом. Он мне раскрыл свой главный секрет успеха, насколько я понял. Бывает так, что когда «попёрло» надо плюнуть на все привычные шаблонные расчёты и делать с поправкой на то, что в этой сделке присутствует X-фактор. То есть риски разумнее оценивать индивидуально от сделки к сделке своим тредерским мозгом. Это и даёт преимущество на рынке (ну когда попрёт =).
            • Sergiovy
              13 декабря 2018, 13:59
              Fry (Антон), 100% правильно!
          • ch5oh
            13 декабря 2018, 13:54
            Sergiovy, первая же ошибка «чутья» унесет намного больше денег, чем это «чутье» может себе представить. =)
            • Sergiovy
              13 декабря 2018, 14:00
              ch5oh, ну стоп то все равно стоит… ну чуть больше обычного потери будут.
              обычно если уже пошло — например тупо по рынку заскакиваешь в свечу — то стоп прямо на вход...  я так делаю — но это редко бывает… Много чего должно совпасть
            • Антон Денисков (Fry)
              13 декабря 2018, 14:02
              ch5oh, ещё надо знать Була, чтобы понимать насколько всё экстремально в данном случае =)
          • Антон Денисков (Fry)
            13 декабря 2018, 13:59
            Sergiovy, кстати, при текущей волатильности мне не хватит $10к на один ES с моим «принятием риска». Даже 15к уже мало!
            Чисто по чуйке:
            Сейчас в идеале надо иметь 40-50к на один контракт, но торговать обязательно в 3 контракта полной позой… Ну хотя бы 2… То есть реально депошечка для комфортной торговли ES сегодня выглядит как $100-130к.
            Вот такой весёлый рынок =)
            • Sergiovy
              13 декабря 2018, 14:09
              Fry (Антон), это какая стратегия… мне одного контракта хватает для входа. ( пока не начал 100% соблюдать правила — торгую одним)  в самых исключительных случаях — добавляю второй. — но это я уже считаю как нарушение:( — должен стоп сработать...) а по воле — да — есть же европейская сессия — там в реале, а вечером на демо, чтобы не расслабляться:)

  • Popo Pacha
    13 декабря 2018, 13:28
    Навело на некоторые идеи!)
  • ch5oh
    13 декабря 2018, 13:37

    Мне чудится, что итоговая ПРИБЛИЖЕННАЯ формула может быть записана как

    k = MO/Disp   

    MO — матожидание исхода (выраженное в процентах)
    Disp — дисперсия исходов

     

    Очень классно! Легко запомнить. Спасибо!

    • Sergiovy
      13 декабря 2018, 13:49
      ch5oh, чтобы получить МО — надо много пройти огня и медных труб, про воду даже не говорю. Бывают моменты, когда лучше вообще не входить. как то за минуту делали 10 п недавно например, или там 100 п в день. 
      Т.е. можно конечно если капитал приличный слегка присунуть...
      а если те же 25 шт на контракт есть — то я например на демо перешел ( там то вмиг можно разбогатеть:(
      • ch5oh
        13 декабря 2018, 13:56

        Sergiovy, ничего не понял.

        Кроме того, что «МО так просто не возникает». С этим тезисом согласен.

  • Sergiovy
    13 декабря 2018, 14:04
     я про то, что МО — это тоже вилами по воде… ну вот вы 10 лет торговали и волы не было практически. и МО у вас хорошее… а тут (Внезапно) как началось, и вы со своей формулой будете в явном пролете. ( я это понял, как увидел минутную свечку на 10 п. — понял, что даже стоп не успею поставить, или пока буду думать — уже все поменяется — ну хоть потренировался на переворотах. Да, результат приличный, но и просадки тоже — просто не успеваешь, а писать аппарат для таких случаев — как то влом.
    • ch5oh
      13 декабря 2018, 14:10
      Sergiovy, у меня тест на истории включает и Крым и Рим и поповую грушу. Так что в «моем» МО учтен достаточно большой спектр возможных состояний рынка.
      • Sergiovy
        13 декабря 2018, 14:15
        ch5oh, не знаю… я исключительно про ES Mini. давно здесь пытаюсь себя побороть. и смотрю тоже каждый день. наверное чего то подзабыл… можно поискать исторические места и графики с волой… но я говорю о периоде после 2008 года, когда начал расти от 666… помню вовсю тогда шортил а оно вот оно как… Но после то практически не было таких резких движений. В прошлые годы мой стоп макс 2.25 был всегда. а сейчас надо мин 6 ставить...  а МО то было прекрасное…
  • MS
    13 декабря 2018, 15:37
    Мы можем убрать N из степени …

    Вот тут ошибка. В этой модели при росте N будут возникать всё более длинные серии результатов различных типов. Например, долго не выпадать +20%. Предположение, что все 4 типа исходов будут в примерно равном количестве, ошибочно. Реализация не обязана совпадать с матожиданием.
    Вы можете разориться, не дождавшись 1/4 1/4 1/4 1/4.
    • LogikoMen
      13 декабря 2018, 18:50
      MS, да, у автора только половина условия. Но тем не менее он прав в плане выборки плеча, влияющего на конечную прибыль. Более того, там ограничение сверху. Максимальную же просадку и так видно на истории, а то. Что она может вырасти — это все понятно. По этой причине трейдинг нужно хеджировать несколькими стратегиями. Либо зарабатывать на чужих деньгах. Другой защиты я не знаю. Если она нужна…
  • LogikoMen
    13 декабря 2018, 16:46
    В этой статье нет главного. Все верно при использования всего депозита — т.е размер позиции зависит сугубо от размера депозита. Если же нет — мы имеем не умножение, а складывание. Тогда плечо зависит сугубо от максимальной просадки, которая не должна уменьшить объем позы ниже минимальной. Правильнее было назвать статью — пропорциональное использование депозита в торговле можно только при просадках более чем в 2 ража ниже, чем профит. Профит фактор более 2 часто любимый показатель стратегий по этой причине. В случае же с одинаковым размером  позы все зависит от максимальной просадки и когда она произойдет.
    • ch5oh
      13 декабря 2018, 17:09

      LogikoMen, автор пытался показать на простом примере как учесть одновременно весь спектр возможных исходов с учетом вероятности их наступления.

       

      В принципе, можно торговать страту СЛ/ТП == 5:1, если у Вас вероятность прибыли более 90%.

      • LogikoMen
        13 декабря 2018, 18:44
        ch5oh, автор показал, что будет в случае позы ввиде процента от депо. И за это ему большой плюс. Правильно указал, что выпадение во времени стопы не влияют на конечный результат. Так же что делать с плечом в этом случае.
        Соотношение СЛ\ТП не имеет значение, только размеры просадок и профита в их умножении — если зависят от депозита, или же суммы — если фиксировано.

Активные форумы
Что сейчас обсуждают

Старый дизайн
Старый
дизайн