Олег Данилов
Олег Данилов личный блог
27 февраля 2018, 20:04

Улыбка волотильности

Улыбка волотильности
Подскажите: почему волатильность распределяется не равномерно, то есть равномерно/одинакова не увеличивается в обе стороны одинаково?


14 Комментариев
  • bstone
    27 февраля 2018, 20:12
    Зуб выбили, теперь такая вот…
  • mav1984
    27 февраля 2018, 20:15
    потому что предполагается, что в одну сторону цена БА двигаться может быстрей, чем в другую.
  • God
    27 февраля 2018, 20:17
    потому что страйки располагаются не равномерно, равномерная шкала страйков должна быть логарифмической.
  • Дмитрий Новиков
    27 февраля 2018, 20:22

    Рассмотрим логнормальное случайное блуждание:

    Формула для расчета вероятности выхода опциона в деньги

    где dX — Винеровский процесс.

    Определим вероятность того, что цена из начальной точки S во время t окажется в диапазоне от a до b во время t':

    Формула для расчета вероятности выхода опциона в деньги

    Читать дальше )
    Функция нормального распределения в формулах стоимости опционовПопробую доступно показать, откуда берется в формулах стоимости опционов функция распределения Гаусса.

    Итак исходное уравнение Блэка-Шоулза:

    Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

    где V — цена опциона, S — цена спота, r — ставка, ну и сигма в представлении не нуждается.

    Это параболическое дифференциальное уравнение в частных производных. Решать можно несколькими способами, но я не буду этого делать, а сразу запишу решение, т.к. его вывод  не имеет значения для цели этого топика.

    Чтобы слегка упростить запись, введу переменную времени, оставшегося до экспирации:

    Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов 

    Решение уравнения БШ тогда можно записать в следующем виде:

    Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

    где Payoff(S) — это функция выплат опциона. Для опциона кол:

    Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

    Соответственно цена кола:

    Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

    поменяем переменную интегрирования на

    Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

    тогда

    Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

    Считать стоимость опциона по этой формуле не очень просто, но рассмотрим сначала второе слагаемое:

    Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

    Сложно не заметить сходство с функцией нормального распределения:

    Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

    В силу популярности нормального распределения для этой функции существует немало аппроксимаций и способов вычислить ее численно. Та или иная реализация имеется, без преувеличения, в любом статистическом пакете. 

    Если нам удастся выразить второе слагаемое через эту функцию, то считать стоимость опционов будет намного легче. Так что овчинка стоит выделки!

    Заменим переменную интегрирования во втором слагаемом выше на

    Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

    и получим

    Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

    где

    Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

    С первым слагаемым не так очевидно, но все же не очень сложно. Сначала надо подвести дополнительное слагаемое в экспоненте под квадрат, а далее действуем аналогично второму слагаемому. Поэтому здесь я сразу запишу результат:

    Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

    где 

    Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

    В итоге получаем, что хотели:

    Функция нормального распределения в формулах стоимости опционов

    Но так как распределение БА не нормальное, то его надо скорректировать улыбкой. А она на дельту влияет. Поэтому так и получается.
    • mav1984
      27 февраля 2018, 20:26
      Дмитрий Новиков, тонкий троллинг
      • bstone
        27 февраля 2018, 20:31
        mav1984, не, он просто боится, что я как Секрет свой пост удалю через пару дней :)
        • Дмитрий Новиков
          27 февраля 2018, 20:40
          bstone, Я скопировал. :))) Спасибо.
        • (1:10) || algo
          27 февраля 2018, 21:35
          bstone, что за история с Секретом? Единичная или регулярно повторяется?
          • bstone
            28 февраля 2018, 00:08
            кукловедофилофоб, это секрет :)
    • Дмитрий Новиков
      27 февраля 2018, 20:46
      Олег Данилов, Извини за тролья. Тут ожидания нет и подсказки нет. На акциях обычно путы дороже колов. Предполагается, что акции будут расти, в них дивы и т.д. Что бы увидеть это наглядно надо найти в ПО «улыбку волатильности». С течением времени она меняется и когда совсем близко к экспирации оба крыла улыбки поднимаются и колы и путы начинают стоить одинаково. 
      Ты почитай где нибудь про распределения, случайности, вообще про опционы и вопросы снимутся. А сей час продай дорогие путы и купи дешевые колы и профит обеспечен.
      • max2005
        27 февраля 2018, 20:55
        Дмитрий Новиков, и захеджируй фьючерсом. 
    • Cap Trap
      27 февраля 2018, 20:59
      Олег Данилов, подсказываю: во-ла! Волатильности! Через «А»!
  • wrmngr
    28 февраля 2018, 01:25
    Грубо говоря IV — единственный параметр, который можно подкрутить в ограниченной модели БлекаШоулза (а именно через нее здесь расчет) чтобы хоть как-то просоответствовать рыночным особенностям. В данном случае особенностям рынка свинины

Активные форумы
Что сейчас обсуждают

Старый дизайн
Старый
дизайн