Эффективный портфель по Марковицу

Данная статья была опубликована в журнале D-штрих №23 (107) «Семь раз отмерь чтобы не отрезали», однако ляпов в ней было достаточно, как редакторских, так и авторских. Основная ошибка заключалась в том, что неверно была рассчитана матрица ковариаций для вычисления дисперсии портфеля – ее верхнедиагональная часть была заполнена нулями. На самом деле это не так и матрица, в данном случае, является симметричной. Этот вариант статьи – ее нередактированная версия с верными вычислениями.

Как известно, полноценная торговая система должна не только сообщать трейдеру о моменте входа и выхода из рынка, но также указывать размер позиции, которым стоит торговать в данный момент. О последнем часто забывают или просто не уделяют должного внимания. Полагается, что лишь разработка удачного торгового плана без методики управления капиталом будет более чем достаточной. Однако это не так, и самые большие убытки, которые случались на бирже, связаны именно с отсутствием адекватного представления о том, каким на самом деле должен быть размер позиции. Формируя свой портфель, многие инвесторы руководствуются каким-то субъективным мнением о количестве выделяемых денег под покупку акций того или иного эмитента. Но на самом деле, размер позиции в каждой конкретной сделке четко связан с величиной риска, которую мы готовы принять для суммы нашего депозита. Чтобы не быть голословными, в редакции журнала D’ решили взять свой портфель и рассчитать оптимальные размеры позиций для каждой входящей в него акции, с учетом ожидаемого риска и доходности.

Немного теории
Если вы представляете для себя набор акций, из которых хотели бы сформировать свой инвестиционный портфель, то для каждой из них следует рассчитать оптимальные доли. При этом нужно иметь представление о таких параметрах как ожидаемая доходность, ожидаемый уровень риска и корреляция. Рассмотрим их более подробно.
Ожидаемая доходность акции рассчитывается на основе ее исторической доходности за предыдущее периоды и равна их среднему арифметическому. В таблице 1 представлена доходность актива за пятилетний интервал времени с периодом один год. Среднее арифметическое доходностей за пять лет составит 7,8%, что и будет являться величиной ожидаемой доходности. Для определения ожидаемой доходности всего портфеля в целом, нужно суммировать произведение ожидаемой доходности отдельных бумаг, входящих в данный портфель на их долю. Формула представлена ниже:
 

где E_p – ожидаемая доходность портфеля, e_i – ожидаемая доходность i-го финансового инструмента, входящего в портфель, W_i – доля i-го финансового инструмента в портфеле. Очевидно, что Σ W_i = 1.
Иногда в качестве ожидаемой доходности акции берут величину потенциального роста (upside) из аналитических исследований по компании. Но мы будем действовать согласно классической портфельной теории, в которой для расчетов используются исторические значения.
Степень возможного отклонения доходности акции от ожидаемого значения, определяют через дисперсию. Дисперсия является показателем рассеяния фактических величин доходности акции вокруг ее средней доходности, то есть ожидаемой. Формула, по которой вычисляется дисперсия, наверняка знакома многим еще со школы, когда ее использовали для определения погрешности измерений в лабораторных работах по физике. Она имеет следующий вид:

где e_i – доходность акции за i-ый период, <e> – среднее значение акции за весь рассматриваемый временной интервал, n – количество временных периодов, а σ² – дисперсия доходности акции на данном временном интервале. В качестве примера, снова возьмем данные из таблицы 1 и вычислим по ним дисперсию актива за пять лет. Здесь <e> – среднее значение доходности акции за рассматриваемый временной интервал, то есть ее ожидаемая доходность, равная 7,8%. Тогда получаем:
((7-7,8)² + (-4-7,8)² + (16-7,8)² + (21-7,8)² + (-3-7,8)²)/5 =99,4.
Заметим, что размерность дисперсии – процент в квадрате. Показателем с такой размерностью пользоваться не всегда удобно, поскольку сама доходность акции измеряется в процентах. Поэтому из дисперсии извлекают квадратный корень, получая, таким образом, стандартное (или среднее квадратическое) отклонение, которое в нашем случае и определяет нам уровень ожидаемого риска. Тогда σ для одного актива имеет вид:

К сожалению, стандартное отклонение σ_p всего портфеля не связано с σ каждой входящей в него акции таким простым соотношением, как в случае с ожидаемой доходностью. Для определения уровня риска портфеля вводится еще одно математическое действие – вычисление ковариации.
Ковариация показывает нам степень взаимосвязи двух случайных величин. Ее значения могут быть как положительными, так и отрицательными. При этом, чем больше абсолютное значение ковариации, тем теснее связь. Если ковариация положительная, то при изменении одной величины другая будет меняться в том же направлении. Если ковариация отрицательная, две величины будут изменяться в противоположных направлениях. В случае нулевой ковариации (близкой к нулю) считается, что связь между случайными величинами отсутствует. Рассмотрим ковариацию между двумя акциями A и B. Формула для ее вычисления вид:

где e_Ai – доходность акции А за i-ый период, e_Bi – доходность акции В за i-ый период, <e_A>, <e_B> – средние (ожидаемые) доходности акций А и B за весь рассматриваемый временной интервал. 
На примере из таблицы 2 определим ковариацию двух акций. Ожидаемая доходность за пятилетний временной интервал у акции А равна 6%, а у В – 12,4%. Тогда получаем:
((10-6)*(14-12,4) + (-12-6)*(3-12,4) + (23-6)*(17-12,4) + (11-6)*(22-12,4) + (-2-6)*(6-12,4))/5 = 70,6.
Если в портфеле имеется более двух бумаг, то нам нужно вычислить ковариацию для всех пар. При этом можно заметить, что COV(A, B) = COV(B, A) и COV(A, A) = σ²_A.
Итоговая формула σ_p для портфеля из N активовбудет записываться в матричной форме (за счет множества значений ковариаций), однако мы не будем углу*censored*ться в сложности, тем более что для наших целей этого и не требуется. Но для портфеля из двух акций выражение для σ_p имеет достаточно простой вид:

где W_А, W_B – доли акций А и В в портфеле, σ_A, σ_B. – стандартное отклонение акций А и В, COV(A, B) – ковариация доходностей акций А и B. Из формулы видно, что при фиксированных значениях стандартных отклонений акций и ковариации, на дисперсию портфеля (σ²_p) может повлиять только распределение долей между А и В. Таким образом, имея некоторый набор акций в портфеле, всегда можно получить минимальный уровень риска для данной совокупности активов путем перераспределения их долей в портфеле. Теперь, понимая эту важную вещь, попробуем подобрать такие доли для нашего портфеля, чтобы минимизировать возможные убытки в будущем.
Оптимизация портфеля D’
На 8 ноября 2010 года портфель журнала D’ включает в себя акции 25 эмитентов. Рассчитаем для каждой из них оптимальную долю исходя из критерия максимальной доходности при заданном уровне риска.
таб. 3. Рассчет долей множества акций
 Все расчеты будут проводиться в программе Excel. Временной интервал возьмем с января по октябрь 2010 года, расчетный период – один месяц. Исходя из цен закрытия на конец периода, рассчитаем доходности за каждый месяц. В таблице 3 представлены результаты вычислений (в этой таблице все значения в долях единицы). При этом нужно отметить, что рассчитанная ожидаемая доходность является средней месячной доходностью, и если мы хотим привести ее к годовой, то полученное значение следует умножить на 12 (число месяцев в году). Дисперсия вычисляется с помощь встроенной функции Excel – ДИСПР(), и итоговое значение аналогичным образом умножается на 12 (данное приближение является несколько грубым, поскольку для определения дисперсии за год обычно берется более мелкий масштаб, в идеале – дневная дисперсия, величина которой множится на 252. Тем не мене, используемый метод расчета также является абсолютно приемлемым).

рис 1. Использование ковариации в Excel
Наиболее сложным моментом является нахождение матрицы ковариации, которая содержит в себе весь набор парных ковариаций между активами портфеля. Имея 25 акций, нам нужно рассчитать 300 ковариаций, не считая 25-ти дисперсий (которые являются диагональными элементами матрицы ковариации). Очевидно, рассчитывать подобное “в ручную” удовольствия явно не составит, поэтому воспользуемся возможностями программы Excel. В меню “Сервис” выбираем “Анализ данных”. В появившемся окне нам предлагаются различные математические инструменты анализа данных, среди которых можно найти и ковариацию, после вызова которой должно появиться окно, как на рисунке 1. В поле “Входной интервал” нужно ввести рассчитанные ранее месячные доходности, которые у нас представлены в таблице 3. Следующий момент – “Группировка”. На нее следует  обратить особое внимание, поскольку именно она определяет набор данных, по которым рассчитывается ковариация. В нашем случае она будет по строкам, поскольку периоды временного интервала у нас расположены горизонтально. В подразделе “параметры вывода” можно воспользоваться любым способом вывода результатов, но если размер матрицы будет достаточно большим, как в нашем случае, лучше выбрать пункт “Новый рабочий лист”. В результате мы должны получить матрицу ковариаций размером 25x25. Как мы отмечали ранее COV(A, B) = COV(B, A), в следствие чего полученная матрица будет симметричной, поэтому Excel не заполняет ячейки выше диагонали, на которой, в свою очередь, расположены значения дисперсий доходности акций (COV(A, A) = σ²_A).
Последним шагом в вычислении дисперсии портфеля является перемножение строки со значениями долей акций в портфеле на матрицу ковариации, с последующим умножением результата на столбец с долями. Поскольку мы еще не знаем, какие доли приписывать каждой акции, то распределим их пока равномерно по портфелю, то есть вес всех акций в портфеле будет одинаков и составит 1/25 = 0,04. Теперь займемся умножением. Сначала перемножается строка с долями (на рисунке 2 выделена желтым цветом) на матрицу ковариаций (выделена серым цветом) с помощью команды ММУМНЖ(). Результатом умножения будет строка (отмечена сиреневым), которую нужно умножить на столбец долей (отмечена бирюзовым) с помощью той же команды ММУМНЖ(). Полученное, наконец, таким образом число будет являться дисперсией нашего портфеля. Для вычисления стандартного отклонения, которое в данном случае является уровнем риска портфеля, умножим дисперсию на 12 и извлечем из полученного значения квадратный корень (на рисунке 2 ячейка со значением стандартного отклонения отмечена зеленым).

рис 2. Нахождение стандартного отклонения
Теперь перейдем к нашей основной задаче – вычислению оптимальных долей акций в портфеле для получения максимальной доходности при заданном уровне риска. Снова воспользуемся возможностями Excel и в меню “Сервис” выберем “Поиск решения”, после чего должна появиться форма, как на рисунке 3. В подразделе “Установить целевую ячейку” прописываем адрес ячейки, где у нас рассчитывается ожидаемая доходность портфеля. В нашем случае это ячейка D27 (на рисунке 2 выделена зеленым).

рис 3. Вычисление оптимальных долей акций
Следующий подраздел определяет значение целевой ячейки. Поскольку мы хотим иметь максимальную доходность при любых условиях, нужно выбрать пункт “максимальное значение”. В подразделе “изменяя ячейки” вводим диапазон ячеек, где прописаны доли нашего портфеля – В2-В26. И последнее поле – “ограничения”, где мы указываем дополнительные условия к нашему портфелю. Применительно к рассматриваемому случаю, ограничения были следующие: значения долей ограничивались интервалом от 0,001 до 0,006 включительно, сумма долей должна быть равна единице (обязательное условие, если мы не берем плечи и распределяем по активам все деньги полностью) и последнее условие – назначение максимального уровня риска. После того как все параметры введены, можно нажать кнопку “Выполнить” и в столбце с весами появятся новые значения удельных весов акций. Таким образом, каждый раз фиксируя определенное значение допустимого уровня риска (стандартного отклонения) мы получаем портфель с таким распределением долей, при которой его доходность максимальна.

рис 4.
Если повторить решение данной задачи для различных уровней риска, то мы получим целый набор значений ожидаемой доходности оптимального портфеля. Эти данные позволяют построить нам так называемую эффективную границу, или границу Марковца. На рисунке 4 изображен эскиз этой кривой (12 точек) и можно заметить, что минимальный уровень риска нашего портфеля составляет около 21%. При этом ожидаемая доходность составляет порядка 27% годовых. При увеличении уровня риска доходность также возрастает. В таблице 4 представлен итоговый портфель с рассчитанными оптимальными долями, соответствующими минимальному уровню риска – 21%. Также в таблице рассчитана ожидаемая годовая доходность каждой акции, и доходность соответствующей доли в портфеле.
Комментарий в заключение
Все о чем мы говорили выше, относится к так называемой стратегии Buy&Hold, а полученная в итоге доходность была бы таковой, если бы мы сформировали портфель в начале этого года. Тем не менее, эти результаты дают некий ориентир, на который можно полагаться в своих ожиданиях. Если система занимается активной торговлей, то здесь нужно учитывать уже другие факторы. Однако рассмотренный пример позволяет понять, насколько важно в своем торговом методе иметь систему управления капиталом. Если в вы еще ее не используете, то, ради эксперимента, попробуйте торговать вместе с ней. Разница в результатах будет заметна практически сразу.

P.S. Таблички, к сожалению, не получилось вставить, смотрите на первоисточнике. Там же можно скачать файл Excel с рассчетами.