ЗАДАЧА ОБ ИГРОКЕ, КОТОРОГО НЕЛЬЗЯ ВЫГНАТЬ ИЗ КАЗИНО

Задача о блуждании пьяницы возле бара — задача смешная и удобная для иллюстрации такой важной математической абстракции как случайное блуждание точки по прямой. Но с давних времён движение пьяных волновало людей меньше, чем движение капиталов. Именно финансовые задачи были исторически одними из первых в теории вероятностей. Например, в ещё 1650-х годах знаменитые учёные Блез Паскаль и Христиан Гюйгенс начали исследовать так называемую задачу о разорении игроков. Она имеет много разных формулировок, но мы сосредоточимся на одной из них — особенно парадоксальной.

Игрок покупает у казино M фишек, каждая из которых стоит доллар (деньги, заплаченные за фишки — его плата за участие в игре). Раз в минуту крупье бросает монету. Когда она падает решкой, он забирает одну из фишек игрока. Когда орлом — даёт игроку дополнительную фишку. Число фишек у казино не ограничено, так что разориться казино не может. Зато игрок — может. Игра идёт до тех пор, пока игрок не потратит все фишки. Таким образом, выиграть деньги он не может. Это игра “в одни ворота”. Но пока она идёт, игрок имеет право бесплатно пить, есть, общаться с другими игроками и как-то иначе развлекаться за счёт казино (ему не обязательно присутствовать рядом с крупье, который всё делает честно).

Зададим четыре вопроса.

• Какова вероятность разорения игрока после N ходов?
• Каким будет медианное время игры?
• Каким будет среднее время игры?
• Стоит ли на практике играть в такую игру и за какую “входную плату”?

Эта задача почти совпадает с прошлой задачей о пьяницах. Один бросок монеты аналогичен одному шагу. Увеличение или уменьшение числа фишек аналогично движению взад и вперёд. А разорение аналогично возвращению в бар. Поэтому вероятность разорения игрока падает с ростом N по такому же степенному закону, как и вероятность возврата пьяницы. Здесь тоже будут аномально затянувшиеся партии (полёты Леви), из-за которых

среднее время разорения игрока бесконечно. Единственное отличие состоит в том, что игрок стартует не с нуля фишек, а с M. Поэтому медианное время игры теперь другое: оно примерно пропорционально M в квадрате.

Что это значит на практике?

10000 нищих разоряют казино

Для начала рассмотрим простейший случай: M=1. В казино заходит нищий с 1 долларом. Теперь задача максимально близка к задаче о пьяницах. Медианное время составит лишь 1 ход (с вероятностью ½ на первом же ходе игрок получит решку). Но среднее ожидаемое время игры, согласно формулам, равно бесконечности. Чем это грозит для казино?

Если в казино придёт не один и не два нищих, а 100, 1000 и больше, то примерно половина из них “отсекутся” на первом ходу, но среди оставшихся найдутся “удачливые”, которые представляют для казино немалую угрозу. Подобно тому, как раньше среди пьяниц оказывался некий процент “авантюристов”, которые надолго уходили от бара, так и теперь среди игроков есть некий процент “удачливых”, игра которых может затянуться на сутки, месяцы и годы (длинные полёты Леви).

Число “удачливых” будет примерно таким же, как и число “авантюристов” в задаче о пьяницах. Достаточно взглянуть на графики. С увеличением N доля игроков, оставшихся в казино, обратно пропорциональна корню из N. Каждый десятый игрок остаётся в игре примерно до сотого хода, каждый сотый — до десятитысячного, а каждый тысячный — до миллионного!

Это значит, что если в казино придёт 1000 нищих с 1 долларом, то из них 1-2 человека “поселятся” в казино на несколько лет! А если придёт 10000 нищих, то среди них может найтись человек, который получит право на сотни лет бесплатных развлечений! И это при том, что для большинства остальных участников игра по-прежнему продлится порядка минуты.

Эта задача наглядно показывает, насколько осторожно надо себя вести организаторам азартных игр. Далеко не всегда прибыли и убытки можно оценить “на глазок”. Если задача о блуждании пьяниц была шуточной, то в казино действительно можно реализовать игру строго по таким правилам, без отклонений от математической модели. И будто бы пустяковая игра, в которой все козыри на стороне казино, может легко разорить его.

Один игрок с 10 000 долларов разоряет казино

При M>1 ситуация для казино может оказаться ещё хуже: теперь игрокам даже не потребуется большого числа партий.

Медианное время игры равно M в квадрате. То есть оно зависит от начального капитала игрока так же, как и время игры самого удачливого нищего — от числа нищих (и их суммарного капитала). И это не просто совпадение, здесь есть глубинная связь, о которой мы поговорим ниже. Но сначала оценим прогнозы для игры при разных M.

Если в казино придут два друга и каждый поставит по 10 долларов, то хотя бы один из них, скорее всего, “погуляет” за счёт казино более полутора часов (медианное время игры — 100 минут). А если поставят по 100 долларов — то оба с высокой вероятностью смогут круглые сутки развлекаться примерно месяц. 10000 же долларов будет достаточно, чтобы “поселиться” казино на сотни лет (!).

Стартовый капитал имеет значение

Нетрудно понять, почему результаты “удачливых” нищих так похожи на результаты людей, которые изначально пришли с деньгами. “Удачливые” — это те, кому на каком-то этапе игры удалось благодаря случайным орлам “сколотить” капитал, который в дальнейшем трудно разорить. Чем выше человек поднялся на случайных орлах, тем труднее его “спустить обратно на землю”. Непропорционально труднее.

Вспомним, что в задаче о пьяницах среднее отклонение траектории от начального положения пропорционально корню из её продолжительности. Пьяница, который сделал 100 шагов, скорее всего, находится где-то в 10 шагах от бара. А тот, кто сделал 10000 шагов — в 100 шагах. Верно и обратное: если пьяница находится в 10 шагах от бара, то, чтобы вернутся в бар, ему потребуется порядка 100 шагов (таким будет медианное время возврата). А если находится в 100 шагах — то 10000 шагов. Аналогично, если в ходе игры нищему посчастливилось “поймать” на 9 орлов больше, чем решек (и получить 10 фишек), то его дальнейшая игра не будет отличаться от игры того, кто сразу купил 10 фишек. Для обоих медианное время игры составит 100 минут. А тот, кто случайно взял 100 фишек, дальше будет играть порядка 10000 минут.

Этот вывод из теории игр имеет далеко идущие последствия. Он объясняет экономическое неравенство в человеческом обществе и говорит, как важен “запас прочности” компаниям. Компания или отдельный богач, однажды сколотившие большой капитал, зачастую могут сохранять его столетиями, тогда как мелкие стартапы появляются и исчезают с огромной скоростью. И эти рассуждения имеют непосредственное отношение к динамике котировок акций, о которой мы расскажем в следующей части.