Взгляд через призму стохастического анализа и теории меры
Взгляд через призму стохастического анализа и теории меры
1. Аксиоматизация «сардин»
Автор вводит концепт «сардин» как компактное метрическое пространство S ⊂ L²(Ω, F, P), где:
Ω — множество элементарных исходов рынка
F — поток σ-алгебр, порожденный ценовым процессом {Pt}t≥0
P — мартингальная мера
Тезис: «Сардины» — класс предсказуемых процессов ξt, для которых выполняется условие сжатия волатильности:
lim[t→T] E^Q[|σt — σhist| | Ft] = 0
где σhist — историческая волатильность, Q — риск-нейтральная мера.
2. Теорема о невозможности арбитража
Если ∃ τ — момент остановки, такой что ∀ t ∈ [0,τ] процесс ξt удовлетворяет неравенству:
d⟨ξ, W⟩t ≤ ε dt P-п.н.
где W — винеровский процесс, то для любого допустимого портфеля π выполняется:
sup[t≤τ] E[U(πt)] < ∞
где U — функция полезности фонда.
3. Алгоритмическое извлечение «сардин»
Метод выделения ξt через сингулярное разложение матрицы ковариаций доходностей:
ξt = arg min[X∈H²] || ∇σ(X) ||₂
где H² — пространство предсказуемых процессов с интегрируемой квадратичной вариацией.
4. Стохастическая динамика «сардинного сжатия»
Ценовой процесс моделируется как:
dPt = μt dt + σ(ξt) dWt + ηt dJt
где Jt — скачкообразный процесс с интенсивностью λ(ξt), ηt — размер скачка.
5. Оптимальное хеджирование в режиме «сардин»
Для производных F(T, PT) с выпуклым платежным функционалом выводится уравнение:
det(D²u) = ∂C/∂σ · ∂σ/∂ξ
где u(t,P) — цена хеджирующего портфеля, C — цена опциона.
6. Заключение
Достоинства:
Строгое обоснование понятия «перепроданность»
Новый класс задач стохастической оптимизации
Мост между эмпирикой и строгой математикой
Недостатки:
Нет анализа устойчивости к микроколебаниям ликвидности
Не исследована связь с теорией крупных уклонений
Вердикт: Книга обязательна для квантов, работающих с сингулярными режимами рынка. Рынок предстает как многообразие с особенностями, где «сардины» — одна из сингулярностей.
