Инвестиции: волатильность решает всё?

(Контекст этого поста: Я математик, пытаюсь использовать математику для улучшения своих результатов в инвестициях и трейдинге.)

Одна из самых важных метрик риска для долгосрочного инвестора — максимальная просадка (drawdown). Она сильно влияет на психологию, в том числе провоцирует панические продажи, из-за которых весь хорошо продуманный инвестиционный план может провалиться. Нелегко терпеть потерю, например, 30% капитала.

Просадку можно пробовать предсказать. Как? Через волатильнось (то есть стандартное отклонение дневных доходностей). Волатильность, в отличие от доходности, довольно устойчивая величина. Вот аннуализированная (то есть умноженная на корень из 252) волатильность с годовым скользящим окном для S&P и золота.




Какое отношение это имеет к просадке? Просадку можно предсказать через волатильность, используя модель геометрического броуновского движения — GBM (да, она не самая идеальная для моделирования поведения рыночных активов, но для первого приближения пойдет).

Вот уравнение GBM:


Первое слагаемое в сумме справа отвечает за экспоненциальный рост актива с доходностью mu, а второе слагаемое — это случайные колебания с волатильностью sigma, той самой волатильностью, которую можно оценить через исторические данные. 

Допустим, наш портфель имеет аннуализированную волатильность 20% (это на данный момент примерно равно волатильности индекса S&P и золота). Чтобы использовать модель GBM, нужно выбрать также mu: допустим, мы нацеливаемся на неплохую по мировым меркам среднюю годовую доходность 10%.

Теперь попросим Chat GPT оценить просадку за 10 лет с такими параметрами, проведя симуляцию модели GBM с помощью метода Монте-Карло:

Mean max drawdown: ~40.0%
Median max drawdown: ~38.5%

Это значит, что за 10 лет математическое ожидание просадки, то есть среднее от возможных просадок, составит аж 40% капитала!

Для демонстрации, что такое GBM, вот моделирование одного возможного пути актива и просадки. Для графика выше было взято 10 000 таких путей.




А что произойдет, если менять временной горизонт? Попросим чат ГПТ менять горизонт инвестиций от 1 года до 30 лет:

За 30 лет ожидаемая максимальная просадка увеличивается аж до 50%! Интуитивно это понятно: чем дольше мы держим деньги в каком-то инвестиционном инструменте, тем бо́льшую просадку нам, скорее всего, придётся увидеть и почувствовать на собственной шкуре.

Зависимость похожа на логарифмическую, и, возможно, для неё уже выведена формула, но точной аналитической формулы, или хотя бы асимптоты, я пока найти не смог (чат ГПТ тоже не помог, выводит зубодробительную простыню формул в ответ на этот вопрос)*.

Какая практическая рекомендация?
1) Выбрать психологически удобную просадку и горизонт инвестиций (например 30% просадки за 20 лет).
2) Исходя из этого, рассчитать таргетную волатильность
3) Составлять портфель, подгоняя под таргетную волатильность. Можно использовать формулы Марковица, готовые пакеты на Питоне или просто чат ГПТ.

Я пользуюсь этим алгоритмом год — и пока очень доволен: просадки небольшие, доходность неплохая, на душе спокойно. Да, год это очень мало, чтобы говорить о какой-то статистической значимости, но я решил поделиться сейчас, а не через 20 лет.

*Update: Чат ГПТ всё-таки выдал приближенную и асимптотическую формулы (за точность, как обычно с ИИ, нельзя ручаться, нужно перепроверять).