Как сделать приблизительный расчет стоимости опциона? Блэк-Шоулз vs Смарт Лаб.

На СмарЛабе появился отличный автор — Eugene Logunov  и его друг KarL$oH. Если бы тут был бы еще и Блек Шоулз, то мы, конечно, его забанили. Потому что он не работает. Ну у кого то работает у кого то нет. Самое обидное, что вроде пишешь, хочешь объяснить, но чукчи ведь тоже писатели. Тем не менее, давайте разберемся.

Для простоты картины возьмем простой пример, который можно посчитать в уме или в уме эксела. Есть БА ценой 1000 который движется в течении 30 дней. Один день растет на 0,015 лог приращения, другой день падает на -0,01. Такое простое поступательное движение. Не трудно догадаться, что через 30 дней он будет в плюсе на 0,075 и если взять экспоненту -1, то в процентах это будет 0,0778% от начальной 1000. Теперь нам надо посчитать стоимость опциона, что бы продать его кому ни будь или что бы нас просто не поимели.

Измеряем волатильность как описано в измерители волатильности. Сразу скажу, что это будет 0,0129 и нормируем на время 362^0.5, итого годовая 0,246. 30 дней до экспари 30/362=0,0828 и если корень извлечь 0,287. Подставляем это все в БШ. Надеюсь, что у продвинутой публики будет какой ни будь калькулятор опционов, что бы все это подставить и получить 28,33. Я по простому и приблизительно: 0,4*0,246*1000*0,287=28,40 и это премия опциона на ЦС. И так как мы знаем конечную цену через 30 дней, то легко сосчитаем, что у нас получится. Нам отгрузят БА по 1000 при цене 1077,8, то есть 77,8 в плюс и спишут цену (премию) опциона 28.4 = 49,4.

Теперь возникает первый вопрос. В каком месте здесь БШ и его вероятности. Во первых, сама вероятность такого похода на 77 пунктов. Достопочтенный bstone  уже выкладывал подробный расчет, а я могу приблизительно сказать, что это N(d2) и это не грек и это 48%, что цена пойдет вверх. А достичь 1077 это вообще 14%. Для любителей вероятности это значит, что мы сейчас продадим опцион с волой 25% и сделаем нейтральную дельту, купим БА на 1000*дельту (N(d1) и это грек) на 514,16. В конце это принесет 514,16*7,78%=40 рублей и премия, которую мы получим от покупателя опциона 28,4, всего 68,4. Покупателю мы должны заплатить 77.8 рубля. Итого 9,4 рубля потеряли. А так как вы торгуете миллионами опционов, то бешеные деньги уходят непонятно куда.

И причем тут БШ. В каком месте у него не правильно. Ну, именно в том, которого вы хотели. Вы же хотели узнать, где будет цена. А БШ не дает ответы на эти вопросы. На них дает ответ только СЛ в разделе «торговые сигналы». Так и стройте каналы и уровни. К БШ, это не имеет ни какого отношения. И даже у Кокса с Рубинштейном, причем Кокс это фамилия, о том, где будет цена, речи не идет. Не надо искать черную кошу в комнате, где ее точно нет.

Для чего же используется БШ и прочие. Для расчета количества БА, которое надо купить/продать, что бы компенсировать любое движение БА и остаться в прибыли. Рассмотрим простую программу замещения опциона БА. Допустим, что все мы знаем, как пойдет цена нашего актива. И, конечно вы нашли покупателя. И покупатель должен заплатить вам премию. Двигаемся по шагам. В первый моменты вы покупаете 514,16 БА. Теперь, в конце срока это вам принесет 40 рублей прибыли. На следу следующем шаге вы докупаете 0,08 дельты 1000*0,08=80, но прибыль будет уже не 7,7%, а минус, что прошел за первый шаг, 6,2%, то есть около 5 рублей прибыли. Потом вы продаете, -4 рубля убытка. Итак, 30 шагов за которые вы наберете еще 9 рублей. Общее число у вас получится 49,43 и премия от покупателя 28,4, итого 77,83. И это ровно столько, сколько вы должны заплатить покупателю.

Все что вам нужно, втюхать доверчивому покупателю опцион чуть большей волатильности, взять с него побольше премии. Причем, без понимания опционов, покупатель даже не заметит подвоха. Вроде как он получил прибыль в 77 рублей, а то, что он заплатил 50 премии вместо 28 ему не известно. Он, покупатель, просто не может это посчитать, так как в БШ не верит. И это здорово.

Но, почему то, не получается ДХ. У ММ получается, а у остальных?  Мне кажется, что на этом этапе все передается ПО и головой ни кто не думает. Начиная с измерения волатильности. Вначале я дал готовую волу 0,246. Как я ее получил? Если по простому. 15 раз по 0,015^2 и 15 раз по 0,01^2 в сумме получилось 0,0048. Извлекаем квадрат и умножаем на 362^0.5, если без среднего. Теперь посчитаем то же самое, но через 6 шагов. Благо приращения можно складывать. Получим ряд 0,03/0,005/0,03/0,05. СКО=0,013, нормировка к году 362/6=60. Волатильность 0,013*60^0.5=10% волатильности. И действительно, если бы мы выравнивали дельту 4 раза через 6 шагов, то у вас бы получилось больше на ДХ. Если бы я измерял через два шага. У меня бы получился ряд 0,005 и среднее 0,005. Волатильность 0. Я бы просто, докупая дельту, через каждые 0,005, вышел бы на сумму 1077, а премию себе в карман положил. И эти разные волы в одном временном окне, если вы заметили.

Что происходит на самом деле. С одной стороны вы честно измеряете волатильность большим индикатором моего имени, а с другой, начинаете нарезать на временные куски согласно изменениям дельты. Тут или трусы или крестик. Естественно у вас уже ДХ не по той волатильности, которую вы так усердно измеряли, а по дельте. То есть надо вычислять, насколько кусков своей дельтой вы порезали БА, нормировать его по времени и получать RV. Но это другая тема.

В заключении хотелось бы привести слова достопочтенного Кирилла Ильинского. «Опцион это стоимость дельта хеджа, и bet на то, как устроена волатильность.» В нашем примере у нас очень необычное распределение. Понятно, что 0,015 все время вверх и 0,01 вниз дадут приличный скос. И если вы начнете оценивать опцион через БШ на разных страйках и сравнивать с ДХ, то заметите. ДХ будет отставать от более низких страйков и будет обгонять более высокие. И что бы выровнять этот эффект надо уменьшать волу для более высоких и увеличивать для более низких. Вот вам и улыбка волатильности.

Ну а теперь можно строить модели. Но вам это не нужно. У вас и так отличный профит. А отличным профитом положено делится. И если, при этом, вы будите знать, на сколько вас поимели, то сон будет не таким сладким. Давайте жить дружно.

Если интересно…