Как сделать приблизительный расчет стоимости опциона? Блэк-Шоулз vs Кокс-Росс-Рубинштейн.
Если новичок, который только-только пришел на биржу и пробует на вкус различные инструменты, откроет почитать, например, вот этот его топик про опционы, то через несколько минут прочтения плюнет, закроет и больше к теме опционов не вернется НИКОГДА!
А такого не должно быть. Не нужно ничего усложнять. Чтобы прибыльно торговать опционами совершенно нет никакой необходимости строить поверхностные улыбки волатильности.
Опционами торговали еще в древности, инструмент очень полезный и незаменимый в хозяйстве (особенно покрытые продажи опционов).
В XII в. в Амстердаме использовали опционы на селедку, а в XVII в. — на тюльпаны.
Напомню, формула Б-Ш для опционов появилась в 1973-ом.
Так как определяли цены на опционы в «доформульные» времена?
Попробую привести метод, позволявший приблизительно подсчитать премию, основываясь на персональном прогнозе трейдера. Самое главное, что необходимо знать про опционы, так это то, что опционы в первую очередь это вероятность.
Предположим, что сейчас цена Газпрома равна 100 (несколько лет назад действительно были очень близкие цены) и вы маркет-мейкера просите продать вам опцион-call 120 со сроком экспирации один месяц. Как ему понять какую цену заложить на этот опцион?
ММ начинает с оценки вероятности нахождения цены на каждом уровне цен через месяц.
Если он продает опцион-call на уровень 120, то его риск для всех значений, которые будут выше этого уровня — больше нуля. Вычленив их, он найдет свой риск продажи от этого опциона.
Это цена будет равна 3,875.
Замечу также, что при оценке используется гипотеза о нормальном распределении ценового ряда (на бирже нормального распределения не бывает, точнее не так — оно бывает, но встречается редко, поэтому к этой модели необходимо относиться с определенной долей скептицизма). Этот принцип оценки цены заложен в уравнение Кокса-Рубинштейна (1976) и лежит в основе расчета цен опционов американского стиля.
Также особо необходимо обратить внимание на тот факт, что модели, лежащие в основе ценообразования опционов, предполагают равную вероятность изменения цен в обоих направлениях, т.е. игнорируется прогнозы участников рынка о направлении движения базового актива (так называемая искривленная улыбка волатильности, которая на практике встречается сплошь и рядом).
А что если опцион истекает через два-три месяца, а не через месяц? Тогда разброс цен увеличится, а внутренние значения станут более вероятными, например, вероятность попадания цены в интервал от 120 до 130 станет 0,12 и тем самым повысится премия долгосрочного опциона.
Мы видим, что примерно в одно и то же время появились 2 разные мат.модели для подсчета опционов — для европейского типа Б-Ш, для американского типа К-Р.
Для понимания: американский опцион можно исполнить в любой момент, а европейский лишь в дату исполнения.
Вы спросите — а какие опционы торгуются на московской бирже?
Ответ здесь.
При этом Московская биржа для расчета теоретических цен опционов использует модель Б-Ш, сразу хочется задать вопрос — ПОЧЕМУ?
Ведь модель Кокса-Росса-Рубинштейна была придумана именно для опционов американского типа!
Спишем на безграмотность IT-специалистов нашего болотца и незнание истории. Им простительно.
Если вы хотите плохо спать сегодня ночью от такой чудовищной несправедливости, тогда предлагаю взглянуть на то, как же она выглядит эта модель К-Р-Р изнутри.
Эта модель великолепна!
Модель Кокса-Росса-Рубинштейна – довольно простой численный способ смоделировать будущее движение цен. Суть такого моделирования состоит в разбиении времени, оставшегося до экспирации на N шагов в предположении, что цена базисного актива на каждом шаге может либо двинуться вверх на определенную величину с вероятностью р, либо вниз, тоже на некоторую определенную величину с вероятностью q=1–р :
А что же дает модель Б-Ш?
Модель Блэка-Шоулза исходит из целого ряда допущений, некоторые из которых являются критическими. Так, в модели не учитываются дивиденды, которые платит акционерная компания в течение срока действия опциона. Этого можно избежать, если вычесть ожидаемую величину дивидендов, предварительно продисконтировав ее (скорректировав на безрисковую процентную ставку), из премии. Также следует отметить, что не учитывается уровень комиссионных и других обязательных платежей, которые осуществляет трейдер. Самое спорное допущение – эффективность целевого рынка и случайный характер динамики рыночных цен. Поэтому трейдеры часто используют внутреннюю (вмененную), а не историческую волатильность.
В свою очередь модель Кокса-Росса-Рубинштейна учитывает факторы, которые не рассматриваются в модели Блэка-Шоулза, являющейся усовершенствованным вариантом биномиальной модели, но они обе дают близкие результаты. Основное отличие – посредством модели Кокса-Росса-Рубинштейна проще учесть возможность досрочного исполнения американского опциона, что очень важно при высокой безрисковой процентной ставке. И поскольку при традиционном экономическом анализе обычно используется «дерево принятия решений», то биномиальная модель представляется нагляднее и проще для применения. Основной ее недостаток – громоздкость расчетов и вычислений, но вместе с тем она позволяет учесть все дополнительные факторы и сценарии развития рыночной ситуации.
Поэтому, друзья, забудьте вы про эту никому ненужную модель Блэка-Шоулза, она стара как мир, нужно исходить из вероятностей и строить соответствующие древа решений.
На практике же, эти древа решений строятся в голове автоматически (приходит с опытом), о чем мы поговорим в следующих сериях, если интересно...
p.s.1. цена на 120-ый call на самом деле равна не 3,875, кто найдет ошибку в таблице распределения вероятностей — тому переведу 111 тимофейчиков.
p.s.2 рекомендуемая литература к прочтению
В данном видео автор рассказывает как он благодаря субъективному представлению о рынке покупает один риск.
Если он мастер трейдер, то не стоит ограничивать доход 1 тыс. пунктов при шансах потерять все, как это уже неоднократно было, а ограничить убытки тысячью пунктами, чтобы взять неограниченную прибыль.
Продажа страховок — это бизнес, а не игра в уровни.
Профессиональные страховщики покупают множество разрозненных рисков, а не один как в данном примере.
Здесь вопрос положительности мат ожидания.
То есть есть, такая стратегия- продаем опционы и держим до истечения. условно — продаешь за год 1000 опционов Часть из них дает убыток. (В том смысле, что заходят в деньги, и приходится закрывать поставку с убытком). Но если постоянно продаешь опционы по цене выше, чем расчетная цена по формулам, то очевидно, что общая прибыль с премии будет выше, чем у того продавца, который продает опционы без предварительного расчета, например по рыночным ценам из стакана.
Не обязательно сидеть с калькулятором, для получения этого преимущества можно хотя бы использовать расчеты в квике. Там есть уже в доске и расчетная цена и теор. Конечно там иногда какие то абсурдные цифры светятся, но это лучше чем вообще мне считать .
И имеет смысл ставить лимитные цены и ждать пока у тебя купят. То же работает.
А в целом конечно же разницы нет. Хоть БА спекулировать хоть деривативами. Главное спрогнозировать движение, или его отсутствие.
Прогнозозируешь движение- покупаешь опционы.
Прогнозируешь отсутствие движения- продаешь опционы.
То есть лучше потратить время не на изучение опционов а на прогнозирование
Гуманитарий детектед? Ты в курсе, что вообще есть «справедливая цена»? Эта модель не может быть не верна, потому что это она лишь даёт формулу, основанную на некоторых предположениях. По фундаментальным теоремам ты из «стоимости» воспроизводишь в точности payout, и эта «стоимость» и есть мат.ожидание по мартингальной мере. Т.е. то же самое усреднение как ты считаешь на пальцах через вероятности, просто вероятности эти не из физического мира, а риск-нейтральные. А проблемы с БШ, ежу понятно, это проблемы предположений, в частности, постоянной волатильности, нормальности, ну и т.п. Всего этого можно не предполагать, всё-равно ключевая формула price = E_Q payout сохранится (предположения no arbitrage конечно делать придется, без них никуда).
Нарисуйте в Quik'е два графика: теорцену и волатильность (не все брокеры это дают; из 8 моих брокеров только Церих и только на Резервном сервере). И вы увидите, как в течение дня при почти неизменной цене базового актива опцион скачет на многие проценты от изменения волатильности на 1%.
Где ещё такое можно почитать в каментах?
И фан. И умные мысли. И образование между строк.
Спасибо, ребята!