Небольшая заметка (первая статья)): что моделировать цены или доходность (простую или логарифмическую)? Какое распределение учитывать?

Всем привет!

Недавно искал информацию по моделированию цен или доходности. Знаю, что это базовые вещи. Однако, на форуме как и на Яндексе (на Гугле искал только англоязычные статьи)) почти нет структурированной информации по данному вопросу. Собственно, поэтому решил поделиться своими мыслями на этот счет. К тому же давно хотел написать пост на смартлабе. Надеюсь информация будет полезна начинающим или студентам. Кратко. Взгляд со стороны «отдела риска».

Итак,

Чтобы оценить риски портфеля (в т.ч. посчитать VAR), мы должны принять для себя решение что мы будем моделировать. Выбор у нас небольшой: цены (prices) или доходность (returns).

Ответ: моделировать надо доходности. Почему?

Мы можем не уходить в глубины эконометрики, т.к. ребята с этой области занимаются продвинутым анализом в этой области, но мы со стороны рисков должны понимать, что

• Цены – не стационарны
• Доходности – стационарны (как минимум должна быть стационарна)

Кратко о стационарности рядов: в общим виде это значит, что ряд неизменен во времени (неизменны его общие постоянные характеристики), т.е:

• Математическое ожидание (оно же среднее) не имеет тенденции расти или убывать. Оно остается на одном уровне. Т.е. применительно к доходности, мы ожидает ее на уровне 0%.
• Дисперсия постоянна, т.е. колебания ряда во времени, что год назад, что сегодня примерно одинаковы.
• Ковариация между первым и вторым членом ряда такая же как ковариация между вторым и третьим членом ряда и т.д.

Самый простой пример стационарного ряда – белый шум.

Примерами нестационарных процессов являются: процесс с детерминистическим трендом и случайное блуждание. Стоит отметить, что существуют методы сведение нестационарных процессов к стационарным. Думаю если кому-то интересно углубиться, вы можете найти массу информацию по этому поводу.

Помимо вышесказанного (исключительно для себя), вы можете приводить себе следующие аргументы в пользу моделирования доходностей:

• Цены не принимают отрицательных значений – проблема с распределением
• Цены не колеблются вокруг нуля, а доходности колеблются – проблема с распределением

Теперь мы сталкиваемся со вторым вопросом: какие именно доходности моделировать и какое распределение у них будет? Ведь мы знаем, что есть простые (simple returns) или логарифмические (logarithmic).

Ответ – логарифмические.

Сразу отметим, что простые доходности относятся к простому правилу начислению (simple convention); логарифмические к постоянному правилу начисления  (continuous compounding convention). Оба типа доходностей могу быть измерены на ежедневной еженедельной, месячной и т.д. базе.  

• Простая доходность исчисляется по формуле:  (P(t + delta) – P(t)) / P(t)
• Логарифмическая доходность по формуле: ln [ P(t + delta) / P (t) ]

где delta –  х пропорция дней в периоде / торговых дней в году ] То есть, например, если простая доходность за 10 дней равна 3%, то в год  мы получим 75%: домножаем 3% на  [1 / (10 / 250) ] – предполагаю что в году 250 торговых дней.

Теперь, вспомнив эти формулы, вспоминаем факты:

• логарифмические доходности могут принимать значения от минус бесконечности до плюс бесконечности. Мы же знаем, что логарифмы могут принимать любые отрицательные и положительные значения – это нам очень нравится
• простые доходности  могут принимать значения в интервале от минус единицы до плюс бесконечности. У кого-то может возникнуть вопрос: почему от минус единицы? Смотрите формулу, подставляйте произвольные значения — это нам НЕ очень нравится
• ось “x” на графике нормального распределения принимает значения от минус бесконечности до плюс бесконечности – кому-то нравится, кому-то нет, но это факт))

Три эти мысли приводят нас к однозначному выводу: предположение о нормальности распределений доходности должно быть применено к логарифмическим доходностям нежели к простым. Обращаю внимание, что распределение именно нормальное, а не ЛОГнормальное.

Вывод: предполагаем нормальное распределение логарифмических доходностей.

Последнее, что хочу отметить, что используя аппроксимацию (исходя из формулы Тэйлора), можно сказать, что  простые доходности распределены согласно сдвинутому логнормальному распределению. Также, при увеличении горизонта (delta – см. выше) два распределения начинают значительно отличаться.

Если инфа будет хоть кому-то полезна, буду очень рад J! Напишу тогда про свойства, которые подходят / могут быть применены, в т.ч. для расчета VAR

Пишите в комментариях, свои добавления по этой теме!