Хитрая волатильность фьючерса. Или нет?

В прошлой заметке я поднял, как считаю, интересный вопрос, который вызвал как мыслительные процессы, так и попытки отрицания реальности. Шутка ли — получается, что торгуя опционы на фьючерс, правильно использовать волатильность не фьючерса, а базового актива.

Но также последовали и хорошие вопросы: «насколько волатильность фьючерса отличается от волатильности акции» и «как на этом заработать».

Насчет «как заработать» мне лично очевидно, что если правильно брать волатильность спота, а не фьючерса, то чтобы заработать нужно как минимум брать волатильность спота. Логично же? Но это также напрямую связано с первым вопросом, и вчера мнения по нему разделились. Давайте покопаем и выясним, как и насколько отличается волатильность фьючерса от волатильности базового актива.

Предлагаю взглянуть на модель ценового процесса для спота, которая лежит в основе уравнения БШ:



где S — цена спота, мю — дрифт (он же дрейф, он же тренд), сигма — волатильность спота, dX — Винеровский процесс

Как мы знаем, цена фьюча и спота связаны фундаментальным отношением (если бы оно не выполнялось, то все бы давно уже бороздили мировые океаны на дорогих яхтах):



Откуда следует, что



Подставляем в первое уравнение модели, и получаем:



Т.е. волатильность фьючерса точненько совпадают с тем, что есть у спота.

Для тех кто не любит дифференциалы, можно зайти с другого конца. Смотрим на returns:



Подставляем в Rf соотношение F(S):



Вводим переменную:



И переходим к непрерывному времени:



Понятно, что если returns фьюча не отличаются от таковых спота, то и волатильность у них будет совпадать.

В общем любая наблюдаемая разница между волатильностью спота и фьюча, о которой говорилось в комментариях к предыдущему посту, по сути является лишь погрешностью, вызванной дискретизацией измерений по времени. Т.е. если вы измеряете волатильность фьюча по дневным изменениям, то эта погрешность будет больше, чем в случае, когда измерения волатильности выполняются по часовым изменениям, и т.д.

Существенно ли это для торговли? Некоторая погрешность в измерении волатильности, к самому процессу измерения которой больше вопросов чем к чему либо… не думаю! :)