Несколько неудобных вопросов, касающихся методов расчета справедливой стоимости опционов. Вопросы 3,4.

 3. Оправдано ли использование логарифмического нормального распределения для описания терминального состояния базового актива

Можно догадаться, почему именно логнормальную модель распределения использовали Блэк и Шолес при решении задачи о нахождении справедливой стоимости опциона. Модель с гауссовыми приращениями брать было нельзя – она допускает уход цены БА в отрицательную область. Следующая, относительно простая логнормальная модель вполне годилась. Найденное на ее основе решение стало основой всей современной теории опционов.

Теперь ложка дегтя.

Мы предполагаем, что приращения цен акций, входящих в расчет индекса РТС, независимы и подчинены закону логарифмического нормального распределения. Поэтому при вычислении цен опционов на эти акции мы используем формулы БШ.

Но, согласно Центральной предельной теореме, из этого же предположения следует и то, что  распределение приращений их линейной комбинации (то есть самого индекса РТС) должно быть близким к нормальному,  тогда для расчета стоимости опционов на индекс РТС правильнее использовать формулу Башелье. Тем не менее, мы используем формулу БШ. Видимо, в расчете на то, что кривая волатильности все исправит.

 

4. Оправдано ли представление эволюции цены базового актива случайным процессом   

И наконец, почему мы вообще решили, что имеем дело со случайными процессами?  Существуют ли объективные методы подтверждения или опровержения этой гипотезы?

Случайность  — это “цепь невыясненных закономерностей, скрытых за порогом нашего понимания”. Предположение о случайном поведении цен можно делать только будучи уверенными в том, что все участники рынка равны в степени своей неосведомленности, а это в высшей степени сомнительно.

Рассмотрим пример.  Дано разложение иррационального числа в бесконечную десятичную дробь.  Пусть это будет число ПИ=3.14159265 ….. Сформируем на основе этого разложения детерминированный процесс. При появлении четной цифры делаем шаг вверх, при появлении нечетной – вниз.  Никакими методами статистики этот детерминированный процесс нельзя отличить  от случайного!

Если в степени своего незнания все участники рынка равны и рассматривают процесс как случайный, игра будет честной. Если же хотя бы один из игроков знает о процессе больше других, он сможет предсказывать будущие приращения цены и, следовательно, постоянно выигрывать. Остальные  игроки смогут усомниться в своих предположениях только по отрицательной динамике торговых счетов. По всем остальным статистическим признакам процесс будет по-прежнему выглядеть, как случайный.

И наконец, управляемые процессы. Хороший пример – шахматы.  Чем хуже разбирается в них сторонний наблюдатель, тем больше у него оснований полагать, что поведение фигур на доске подчинено случайным законам. Только серия проигрышей тому, кто знает о шахматах больше, заставить его изменить свое мнение.

Иными словами, для того, чтобы убедиться в применимости или неприменимости аппарата ТВиС в каждом конкретном случае, необходимо использовать нестатистические методы исследований, которых в классической теории опционов нет.