Задачка по теории вероятностей

Всем привет!

Предлагаю поломать голову над следующей задачкой. Ее решение вполне применимо в трейдинге и возможно кому-то поможет.

Имеется N случайных величин (СВ), распределенных по нормальному закону. Каждая из них имеет отрицательную корреляцию K одновременно со всеми остальными СВ. Необходимо найти минимальное возможное значение K и построить график K(N). Дополнительно можно построить график корреляции между суммой N-1 CВ и оставшейся СВ.

теория вероятности задача

SECRET

324

3 363

с 25 октября 2013

45 Комментариев

baron_samedi
17 октября 2017, 11:07
спасибо огромное.
недавно думал о подобном, а Вы так четко сформулировали...
Это мне напоминает кажется формулы Эйнштейна и вероятности частиц… ;-))))
+2
maxman
17 октября 2017, 11:15
Как-то некорректно поставлена задача. Когда говорят о взаимо-корреляционной функции или авто-корреляционной функции, то имеется ввиду как раз функция (набор СВ), но ни как не о числе. Если у вас нормальное распределение (Гаусов купол) то как каждое конкретное число может иметь отрицательную корреляцию относительно любого другого числа?

Хорошую генерацию последовательностей с наименьшей величиной взаимной корреляции (одной последовательности относительно другой последовательности) дают коды Голда.

+3
- SECRET
  17 октября 2017, 11:25
  maxman, автокорреляция это когда следующее приращение зависит от предыдущего во временном ряде.
  
  О числе никто не говорит. Речь идет о наборе зависимых случайных величин.
  
  Зависимость между СВ может быть выражена одним числом — корреляцией K.
  
  Коды Голда дают очень низкую корреляцию, а нам нужна минимально возможная, т.е. как можно меньше нуля значение, а не как можно близкое к нулю.
  +1
  - maxman
    17 октября 2017, 11:51
    SECRET,
    автокорреляция это когда следующее приращение зависит от предыдущего во временном ряде.
    Автокорреляция это свертка функции (временного ряда) со своей копией, сдвинутой на N отчетов K=f(x)*f(x-i). Каждое i дает свое значение автокорреляционной функции. Если система динамическая и на вход поступают новые значения временного ряда и вы пересчитываете автокорреляцию, то да следующее приращение автокоррелционной функции зависит от предыдущего, так как эти отчеты используются в расчете.
    
    Все же не понятно, что именно вам нужно. Значение автокорреляционной функции зависит от самих СВ и больше ни от чего, вы можете только сдвижку менять, при определенной сдвижке вы можете получить локальный минимум корреляции, который при получении следующего СВ может уже и не быть локальным минимумом.
    Соответственно, вы хотите синтезировать некую функцию корреляция которой с исходными СВ будет минимальна или что?
    
    0
    - SECRET
      17 октября 2017, 12:25
      maxman, да тут не нужна автокорреляция. Речь идет о взаимной корреляции между случайными величинами.
      0
Sergey Pavlov
17 октября 2017, 11:19
Чего автор этим предложением-то хотел сказать?:))
Каждая из них имеет отрицательную корреляцию K одновременно со всеми остальными СВ.
Сперва придется решить задачку по русскому языку, а уж потом по ТВ.
+3
- SECRET
  17 октября 2017, 11:26
  Sergey Pavlov, «K» это не предлог, а обозначение корреляции в поставленной задаче.
  +1
_sk_
17 октября 2017, 11:21
1) Теория вероятностЕЙ, конечно же. (UPD: Спасибо, что исправили).

2) Судя по всему, в условие надо дописать, что отдельные величины Xi имеют одинаковые математические ожидания EXi и дисперсии Var Xi.

3) Без ограничения общности считаем, что математическое ожидание каждой из величин равно 0 и дисперсия совпадает со вторым моментом E Xi^2 и равна 1, тогда корреляция равна математическому ожиданию произведения двух таких случайных величин r = E XiXj. Сумма S = X1+...+XN величин имеет неотрицательный второй момент E S^2 >= 0, который равен N*EX1^2 + N*(N-1)*EX1X2 = N*1 + N*(N-1)*r, откуда r >= -1/(N-1).

4) Наверное, надо ещё доказать, что существует многомерное нормальное распределение, для которого это равенство достигается. В этом случае K(N) = -1/(N-1) — график гиперболы.

5) Самое сложное — теперь придумать этому применение в трейдинге. :)
+10
- SECRET
  17 октября 2017, 12:24
  _sk_, Гениально! Я предполагал что график должен быть похож на гиперболу, но не додумался через дисперсию суммы решить. А оказалось, что очень даже красивое решение. Спасибо
  +1
  - tores
    25 октября 2017, 07:40
    SECRET, есть другое решение. Пусть есть N случайных чисел x1, х2, ..., Хn нормально распределенных и с мат ожиданием 0 и дисперсией 1. Пусть корреляция между ними одинакова и равна К. Пусть есть СВ Y — нормально распределенная и с корреляцией со всеми Xn равной тоже К. Найдем корреляцию суммы Х1+Х2+...+Хn и Y => r =( E[(X1+..+Xn)*Y] — E(X1+...+Xn)*EY ) / корень(D(X1+..+Xn)*D(Y)).
    Упростим выражение:
    1) E[(X1+..+Xn)*y] = Е(X1*Y)+E(X2*Y)+...+E(Xn*Y) = K+K+...+K=N*K
    2) E(X1+...+Xn)*EY = 0, т.к. EY =0
    3) D(X1+..+Xn)*D(Y) = D(X1+..+Xn)*1= D(X1)+...+D(Xn)+2*K*N!/(N-2)!/2! => D(Xn) =1 => N+K*(N-1)*N
    
    Тогда получаем упрощенное выражение:
    r=N*K/корень(N+K*(N-1)*N) = корень(N/(1+K(N-1)))*K
    Известно что r>=-1 тогда:
    корень(N/(1+K(N-1)))*K >=-1, возведем в квадрат обе части:
    N/(1+K*(N-1))*K^2>=1
    N*K^2-(N-1)*K-1>=0, решаем квадратное уравнение относительно К и получаем корни:
    K=1, K=-1/N.
    
    Таким образом r>=-1 при К>=-1/N для СВ Х1, Х2, ..., Хn и Y.
    Если сделать замену Y=Xn+1 то K>=-1/(Nn+1 - 1)
    
    0
God
17 октября 2017, 11:29
А разве тут N может быть больше 2?
0
tores
17 октября 2017, 11:57
ну во-первых корреляционная матрица должна быть положительно определенной
0
rvins
17 октября 2017, 12:01
Не понимаю как тут N может быть больше 2.
0
- Bigorent.Ru
  17 октября 2017, 12:09
  rvins, дак наверно многомерная случайная величина
  0
  - SECRET
    17 октября 2017, 12:21
    Андрей Казанов, одномерная СВ
    0
- SECRET
  17 октября 2017, 12:21
  rvins, легко может быть
  0
Wasiliew Wasilij
17 октября 2017, 12:16
Какое значение у автора более минимальное: -0,000001 или -10000000?
0
- SECRET
  17 октября 2017, 12:19
  Wasiliew Wasilij, -10000000
  0
  - Wasiliew Wasilij
    17 октября 2017, 20:44
    SECRET, а почему не -1?!
    0
    - SECRET
      18 октября 2017, 10:11
      Wasiliew Wasilij, потому, что в вопросе было -0,000001 или -10000000
      0
      - Wasiliew Wasilij
        18 октября 2017, 21:34
        SECRET, но вопрос-то в теме про корреляцию?)
        0
Eskalibur
17 октября 2017, 12:52
" неотрицательный второй момент E S^2 >= 0, который равен N*EX1^2 + N*(N-1)*EX1X2 = N*1 + N*(N-1)*r "

откуда такая формула второго момента, у нас же N СВ.
0
Eskalibur
17 октября 2017, 12:55
E S^2 >= 0, который равен N*EX1^2 вот такой будет второй момент
0
- SECRET
  17 октября 2017, 13:04
  Eskalibur, Нужно учесть, что переменные зависимые.
  0
  - Eskalibur
    17 октября 2017, 13:13
    SECRET, теперь ясно.
    0
tores
17 октября 2017, 12:57
Получилось так:

/>
N K
2 -1
3 -0,5
4 -0,33
5 -0,25
6 -0,2
… …

Получается график гиперболы в IV четверти декартовой системы координат, где по х — число используемых случайных величин и у- корреляция между СВ.
0
- tores
  17 октября 2017, 12:57
  Max, вроде не сложная задача, а какой толк то от нее?
  0
  - SECRET
    17 октября 2017, 13:17
    Max, возможно в вашей торговле не применимо это просто. У меня есть пара идей, но озвучивать не буду, потому и дал в общем виде условия.
    0
    - tores
      17 октября 2017, 13:47
      SECRET, спасибо за интересную задачу. посмотрел решение второй части задачи, попробовал посчитать корреляцию суммы N-1 для N=3 и N=4. Получилось что корреляция суммы N-1 СВ c СВ номер N составляют около 99% и 98%. В целом смысл улавливается, если есть три актива с отрицательной корреляцией, цены или дельта цена которых отрицательно коррелируют, то сумма изменений цен двух активов будет практически функциональной зависимостью от изменения цены третьего актива.
      0
    - robomakerr
      21 октября 2017, 12:31
      SECRET,
      «Каждая из них имеет отрицательную корреляцию K одновременно со всеми остальными»
      а как такое возможно вообще? может имелось в виду «нулевую»?
      0
      - SECRET
        21 октября 2017, 17:30
        robomakerr, думаю такое вполне возможно.
        0
- Eskalibur
  17 октября 2017, 13:02
  Max, прям точно K(N) = -1/(N-1)
  0
  - tores
    17 октября 2017, 13:18
    Eskalibur, да, так получается
    0
Niktesla (бывш. Бабёр-Енот)
17 октября 2017, 14:21
Дожили...
SECRET походу решил в портфельное инвестирование удариться…
+1
- ves2010
  17 октября 2017, 19:27
  Бабёр-Енот, скорее всего он выбирает одну из нескльких бумаг для торговли либо один из нескольких вариантов настроек
  0