IRR / YTM - не забываем про реинвестирование

IRR / YTM — не забываем про реинвестирование

«Учитель приходит тогда, когда готов ученик» (Китайская мудрость)

Когда мы были молодыми и чушь прекрасную несли уважаемая (ни малейшего сарказма) профессор ВШЭ сказала, что показатель IRR (internal rate of return, внутренняя ставка доходности) и/или YTM (yield to maturity, доходность к погашению) предполагают реинвестирование платежей, то, признаюсь, ни я, ни многие другие студенты не поверили.

Только через некоторое время, слушая других преподавателей, мы «дозрели» до сомнений в правильности наших знаний (а на самом деле заблуждений), что открыло возможность для нашего дальнейшего роста (как бы пафосно это не звучало).

Рассмотрим условный пример № 1.

За 1000 руб. приобретаем 5-летнюю облигацию с купоном 10% с доходностью YTM = 10% годовых.

Рассчитаем доходность YTM (и доходность в простых процентах) (расчет осуществляется в англ. Excel, указаны использованные формулы, синим цветом выделены вводимые данные, черным – расчёты по формулам).

При желании файл с расчетами можно воспроизвести, для этого показаны использованные формулы (функция «FORMULATEXT» или «Ф.ТЕКСТ» при русскоязычном excel, ошибка #N/A — отображается, когда данная функция возвращает содержимое с данными, а не с формулами, т.е. можно игнорировать).

Казалось бы, «очевидно», что 10% годовых это просто сумма процентов, которые инвестор получает за 5 лет без какого-либо реинвестирования. При этом Эксель также подтверждает, что наша YTM равна 10% без всякого реинвестирования (строки 11 и 12 — функции IRR и XIRR).

На самом деле нет.

Нагляднее, это будет видно, если изменить структуру денежных потоков.

Рассмотрим на примере 2.

Предположим, приобретаем 5 летнюю бескупонную облигацию за 1000 руб., по которой выплата осуществляется в конце периода по цене 1500 руб. (пример условный, я в курсе какие номинальные стоимости бывают обычно), т.е. в году 1,2,3,4 никаких выплат не осуществляется.

Простая доходность равна 50% за 5 лет, т.е. 10% в год (как в примере 1).

А вот IRR изменился: 8,4 % (при использовании функции IRR, и 8,442% при использовании функции XIRR, с учетом дат).

Почему так происходит?

Потому что в примере № 1 не был учен доход от реинвестирования купонов по облигации (или ден притоков при расчете IRR по инвест проекту).

Рассчитаем TV купонов (терминальную стоимость купонов, т.е. купонный доход с учетом их реинвестирования) в 5 году.

Платеж (купон) за первый год – 100 руб. реинвестируется на 4 года под 10%. Соответственно его терминальная стоимость в 5 году равна 146 руб. (т.е. 100 * (1+10%)^4).

Аналогичным образом, TV купона за 2 год составит в 5 году 133 руб., TV купона за 3 год — 121, TV купона за 4 год — 110, а TV платежа за 5й год – 1100 руб. (равна сумме платежа). Итого, с учетом реинвестирования купонов (промежуточных платежей) получили сумму 1611 руб.

Расчет ниже (см. строку 7).

Получаем, что будущая стоимость (FV) всех платежей (TV купонов и итогового платежа) в пятом году равна — 1611 руб… Если дисконтировать эту FV по ставке 10% в год № 0, то получаем 1000 руб. (1611 * 1/(1+10%)^5), что соответствует оттоку 0 года в размере 1000 руб.
(Кстати, вместо реинвестирования (наращивания) платежей — купонов и итогового платежа — в год 5, а также последующего их дисконтирования в период 0, можно сразу дисконтировать платежи в период 0, но будет не наглядно, не будет видно реинвестирования).

Альтернативно (вместо дисконтирования и расчета PV притоков — купонов и погашения) можно посчитать FV оттока (1000 руб.), т.е. нарастить ден.отток в течение 5 лет по ставке 10%. Получаем те же 1611 руб., т.е. 1000 * (1+10%)^5.

Суммы оттоков/притоков равны в году 0, или 5 (как и в году 1,2,3,4, с учетом дисконтирования/наращивания). Это отражаетконцепцию эквивалентности между денежными потоками в разные даты.

Вернемся к денежным потокам в примере 2  - ден. отток в 1000 руб. в году 0 и ден. приток 1500 в году 5.

При использовании ставки 10%, отток 1000 руб., нельзя приравнять к притоку 1500 руб. в 5 году:

— если приток 5го года, 1500, дисконтировать по 10%, то в году 0 его PV будет соответствовать 931 год, что не равно оттоку 1000 руб. в году 0,

— аналогично отток 1000 руб. первого года по ставке 10% можно нарастить до 1611 руб. в 5 году, что не будет равно притоку 5го года в размере 1500 руб.

В расчете ниже отражена стоимость FV оттока  нулевого года в каждом году, которая наращивается от года к году по ставке 10%: FV в году 1– 1100, FV в году 2 – 1210, в году 3 – 1331, в 4м году – 1464, и в 5м — 1611.

Но потоки — отток и приток — уравняются при применении ставки 8,4%.

В примерах выше структура ден.потоков изменялась таким образом, чтобы сохранить простую процентную ставку на уровне 10%, при этом изменяя IRR/YTM.

Полагаю, что вышеприведенные вычисления наглядно демонстрируют, что YTM предполагает реинвестирование купонов (аналогично IRR предполагает реинвестирование платежей по инвестиционному проекту).

Но, возможно, для кого-то будет нагляднее другой пример (№ 3), когда при изменении структуры платежей ставка IRR сохраняется на уровне 10%, при этом изменяется как раз ставка простого процента.

Пример 3. Структура ден потоков: отток 0 года – 1000 руб. Приток 1 года 550 руб. соответствует 500 руб. в году 0. Ден. приток 5 года – 805 руб, соответствует 500 руб. в году 0. Итого 1000 руб., дисконтированные по ставке 10% притоки равны оттокам (см. строку 8).

Или, альтернативно, можно определить FV потоков в 5 году, т.е. наращивая все платежи (отток 0 года, притоки 1 и 5 года). Получаем FV оттока 1611 руб. FV притоков 1611 руб. (805+805).

Снова ставка 10% уравнивает платежи во времени (и наглядно демонстрирует, что платеж 1 года 550 был реинвестирован. А вот простой процент отличается от 10.

Думаю, понятно, что при желании платежи (притоки) можно разбить не на 2, а другой количество (например, на 5), и не на равные части.

Например, при YTM (доходности к погашению) равной ок. 17,99% текущая стоимость облигации (отток в счет оплаты) составит 750 руб.

Соответственно первоначальный пример (посчитанный с учетом реинвестирования купонов по данной ставке) покажет, что простые проценты равны 20%, тогда как IRR действительно равен 17,9%. Именно данная ставка уравнивает денежные притоки и оттоки.

Притоки и оттоки будут эквивалентны во времени. Будучи приведенными (дисконтированными) по ставке 17,9% в год 0, они будут равны в нулевом году 750.

А будучи приведенными (наращенными, реинвестированными) по ставке 17,9% к 5му году.они будут равны 1715 руб.
Кстати, при наращении ставку дисконтирования следует именовать коэф наращения (но суть расчета не изменяется).

Выводы:
— Профессор ВШЭ была права: ставка YTM / IRR предполагает реинвестирование купонов (денежных потоков инвест. проектов),
— YTM/IRR можно приравнять к ставке сложного процента (если не забывать рассчитывать / дисконтировать доход от реинвестирования),
— Ставка YTM / IRR предполагает уравнивание денежных потоков во времени, ставка позволяет привести потоки к одному времени,
— И дисконтирование, и наращивание (начисление процентов) необходимы для уравнивания платежей, осуществленных в различные периоды времени, при этом наращивание – это ничто иное как реинвестирование,
— YTM/IRR это не ставка начисления простого процента (ставка может совпадать с размером простого процента в отдельных случаях, но это именно совпадение).