Несколько неудобных вопросов, касающихся методов расчета справедливой стоимости опционов. Второй вопрос.
- 1. Что такое кривая волатильности и как она соотносится с моделью БШ
Все знают, что такое ожидаемая волатильность опциона (Implied Volatility). Это волатильность, которую нужно подставить в формулу Блэка-Шолеса, чтобы получить текущую рыночную стоимость опциона. Вычислив ее для всех страйков, можно затем аппроксимировать полученные значения гладкой параметрической кривой – кривой волатильности.
Но, если при расчете кривой волатильности мы всегда и везде используем формулу БШ, то мы так же всегда и везде должны доверять ее авторам, а они утверждали, что волатильность опционов должна в точности равняться волатильности базового актива, которая может быть только одна. Откуда взялась кривая? Либо мы верим Блэку и Шолесу (должна быть прямая), либо не верим (тогда кривая).
У кривой волатильности нет содержательного смысла. Это простая подгонка. Единственным ее назначением является устранение расхождений между теоретическими и рыночными ценами. Какую бы модель ценообразования опционов мы ни взяли, кривая волатильности исправит все ее огрехи. Что-то вроде толстого слоя штукатурки, с помощью которого можно выровнять любую стену.
При этом мы полностью лишены возможности отличить хорошую модель от плохой, после использования кривой расчетные цены любой модели будут близки к рыночным. Тогда почему мы пользуемся именно моделью БШ? Видимо, потому, что де-факто она признана стандартной.
Прихода цены в точку Y когда — прямо сейчас? — к моменту экспирации? — в любое время до экспирации?
Соответствует какой волатильности БА — ожидаемой? (когда?) — реализованной на некотором интервале? (каком?)
Вот это очень спорное утверждение. Давно копал эту тему и эта гипотеза у меня не подтвердилась. Делал следующее: генерил кучу случайных траекторий некоего случайного процесса (взял модель Хестона и добавил гэпы), получал в итоге распределение вероятностей где будет цена БА на экспу -> вычислял из него улыбку IV и накладывал ее на облачко из HV каждой случайной траектории. Получилось, что если гэпы отключены, то улыбка IV очень хорошо вписывалась в облачко HV. Если же включить гэпы, то улыбка совершенно переставала вписываться в HV. Вот ссылка на тот эксперимент: smart-lab.ru/blog/212273.php
Мое мнение. Улыбка это корректировка распределения прописанная в БШ. Производится набором гаусов. Ну и чем больше срок, тем меньше туда надо лезть. Ну а если построить распределение на минутках, то все формулы надо переписывать или гнуть свою улыбку.
Много копал для себя тему с улыбками, и пришел к такому:
1. Улыбка IV — это просто набор поправочных коэф-тов (чтобы преобразовывать теоретические логнормальные распределения БШ в реальное рыночное)
2. Улыбка IV и распределение вероятностей где окажется БА на экспу — две разные формы одного и то же. Но распределение более понятно с физической точки зрения. IV удобнее для котирования + быстровычисляемые греки. Но прогнозировать будущее, спорить с рынком лучше через распределение, имхо. Также, через распределение можно вычислять массу полезных характеристик позиции.
a+sn, где n — стандартное нормальное распределение, а а и s — случайные величины, s — неотрицательная, то
а. для будущих приращений логарифмов цен можно получить распределение с «вытянутым колоколом» в районе моды и «тяжёлыми хвостами».
б. объяснить «улыбку волатильности» положительной корреляцией |а| и s.
в. объяснить несимметричность путов и коллов несимметричностью распределения а.
Дополню. Эта модель может многое объяснить постфактум для опционов, но без выявления взаимосвязей во временном процессе (а, s) для торговли бесполезна.
В чем, собственно, вопрос? Почему улыбка?
Был опционный софт, который рисовал все котировки в терминах айви. В те далекие времена эти котировки лежала на одной горизонтальной линии. ММ было очень удобно: держишь в голове 1 число. Все заявки бай выше этого числа продаешь, все офера ниже — покупаешь. Профит.
Потом люди поумнели и стали продавать колы сильнее, чем путы. И сколько бы ММ их не выкупал — получалось, что продавцы в шоколаде.
А чтобы софт не переделывать (никто же не знает как его надо переделать на самом деле да и дорого это) стали рисовать ровно в тех же координатах IV(K) улыбку уже в виде кривой линии.
Но в стакан мы ставим заявки в абсолютных числах. Именно абсолютные числа — истина в последней инстанции. Но переход от айви к ценам тривиален — все формулы давно написаны.
БШ используется, потому что удобно считается (имеет аналитическое решение) и при этом обладает достаточной точностью для практического применения. Нужно всего-лишь держать в уме используемые в БШ допущения.