Изучение простой модели котирования

Как с помощью математики можно изучать рынок? Ниже приводится некий пример. При этом рынок, как известно, всегда прав, а модели только пытаются как-то ухватить его некоторые особенности. Не стоит идеализировать модели.

В нашей модели будем считать, что рынок суперликвидный, поэтому бид B и оффер O всегда отличаются на один шаг цены, который, для простоты, положим равным 1, т.е. O = B+1.

Цены в модели будут меняться дискретными тактами: с вероятностью p расти так, что пара бид-офер из (B, O) превратится на следующем такте в (B+1, O+1); с вероятностью q падать, давая новую пару бид-офер (B-1, O-1), и с вероятностью r = 1-p-q стоять на месте.

Допустим, мы хотим совершить покупку. Можно покупать по рынку (А), можно выставлять лимитную заявку в лучший бид и переставлять её, если рынок уходит выше (Б), можно отступать от лучшего бида вниз на один шаг цены, выставлять лимитную заявку там и переставлять её, если цена поменялась, а заявка ещё не исполнилась (В). Посмотрим, какая цена исполнения получится для каждого из этих трёх способов.

А) Исполнение по рынку. Тут всё просто — цена исполнения равна оферу O = B+1.

Б) Котирование по цене лучшего бида. Тут теряется определённость в цене исполнения и можно говорить лишь о её математическом ожидании.

Обозначим через X неизвестную пока среднюю цену исполнения и, составив уравнение, определим её.

Допустим, что мы поставили лимитную заявку единичного объёма по цене B. Возможны три варианта развития событий.

1) С вероятностью p рынок пошёл вверх, заявка не исполнилась, мы переставляем её выше на один шаг цены. Будем считать, что после этого весь процесс котирования начинается заново, только цена выросла на 1. Для этого предположим независимость ценовых приращений для разных тактов. Средняя цена исполнения при таком варианте развития событий будет равняться X+1.

2) С вероятностью q рынок пошёл вниз. Тут всё понятно: офер стал равен B, заявка гарантированно исполнилась по цене B.

3) С вероятностью r рынок остался на месте. В зависимости от того, насколько близко к началу очереди заявок мы стоим, а также насколько интенсивно идут сделки, наша заявка может как исполниться, так и остаться неудовлетворённой. Введём вероятность исполнения заявки в таком случае и обозначим её через a. Надо рассмотреть два подварианта:

3.1) с вероятностью r*a заявка исполнилась по цене B;

3.2) с вероятностью r*(1-a) заявка не исполнилась, и мы, как и для первого варианта, предположим независимость дальнейших исходов и будем считать, что весь процесс повторяется заново, и средняя цена дальнейшего исполнения равна X.

Если сложить ответы, полученные в каждом из рассмотренных вариантов, умножив их на указанные вероятности, и приравнять к X, то образуется уравнение:

X = p*(X+1) + q*B + r*a*B + r*(1-a)*X.

Из этого уравнения можно выразить X: нужно раскрыть скобки, перенести все слагаемые, содержащие X, в левую часть и применить тот факт, что 1-p-r+ra=qa+ra. Опустив алгебраические преобразования, в итоге получим X = B+p/(q+ra).

Остановимся в выписывании формул и немного пофантазируем. Предположим, что мы разрабатываем трендовую систему, которая ловит импульсы. В момент входа в длинную позицию рынок от нас обычно убегает. В терминах вероятностей это может выглядеть, например, так: p = 0.5, q=0.25, r=0.25, т. е. вероятность роста больше вероятности падения. Для a=0.5 средняя цена исполнения при этом равна B+4/3, что хуже, чем B+1 при исполнении по рынку.

Если же рынок нейтрален, что выражается, например, как p=q=0.25, r=0.5, a=0.5, то средняя цена исполнения составит B+0.5. Можно сказать, что в этом случае половину спреда между бидом и офером мы взяли себе.

Виден эффект того, что если рынок убегает не очень активно, то выгоднее котировать, иначе — брать по рынку, пока ещё дают.

В) Котирование с отступом в один шаг цены. Рассмотрим случай, когда мы ставим лимитную заявку по цене B-1. Здесь также нужно рассмотреть три варианта.

1) С вероятностью p цена выросла, мы вынуждены переставить заявку с уровня B-1 на уровень B и повторить всю процедуру. Средняя цена исполнения будет равна X+1.

2) С вероятностью q цена снизилась, бид стал равен B-1. Тут имеются два подварианта:

2.1) с вероятностью q*a наша заявка исполнится по цене B-1;

2.2) с вероятностью q*(1-a) заявка останется неудовлетворённой, и мы успеем её переставить на уровень B-2, после чего процесс повторится и средняя цена исполнения будет равна X-1.

3) С вероятностью r рынок в течение одного такта будет стоять на месте, наша заявка тоже, после чего нужно повторить весь процесс и средняя цена исполнения будет равна X.

Суммируя все ответы с учётом их вероятностей, получаем уравнение:

X = p*(X+1) + q*a*(B-1) + q*(1-a)*(X-1) + r*X.

Выразив отсюда X, получим: X=B + (p-q)/(q*a).

Если вернуться к нашей фантазии и подставить p=0.5, q=0.25, получим, что X = B + 1/a. Средняя цена исполнения зависит от вероятности a исполнения лимитной завки, когда цена бида достигает её уровня. Для примера, рассмотренного ранее, для убегающего рынка X = B+2, а для нейтрального рынка X = B.

Значения вероятностей p, q, r, a, которые входят в полученные формулы, заранее неизвестны. Их можно попробовать оценить по поведению рынка ещё до начала котирования и выбрать наиболее подходящий способ исполнения.

Те, кто любит математические навороты, могут уже самостоятельно порассуждать, что будет если неизвестные вероятности p, q, r, a являются не числами, а случайными величинами. В качестве примера: про рынок неизвестно, как он ведёт себя в текущий момент, поэтому с равными вероятностями среди чисел p, q, r ровно одно число равно 0.5, а остальные 0.25. Здесь при a=0.5 средняя цена исполнения по лучшему биду равна B+67/90, а о отступом в один шаг цены B+1/3.

Для любителей численных исследований предлагается провести численные расчёты в электронных таблицах при разных p, q, r, a и сделать соответствующие выводы.

Профитного вам исполнения!

математические модели котирование