Риск менеджмент, как не проиграть в выйгрышной игре
Есть 1000$ и есть игра в которой вероятность выйгрыша (удвоения ставки ) 66 % тоесть мы 2 раза выигрываем 1 раз проигрываем,
составить алгоритм с максимальной вероятностью остаться с 1 млн $, ограничение количества игр 200.
1. вариант стивам каждый раз всю сумму тогда нам нужно выйграть подрят 10 раз, итого наша вероятность выйграть 1млн (0.6)^10= 0.015 или
1.5% полтора процента.
2. варант ставим всегда половину, тогда допустим 2 первые раза мы выйграли и 1 проиграли, 100+50=150, 150 +75=225,
225-112.5 = 112.5 итого за 3 игры наш капитал увеличивается на 12.5% процентов. итого (1.125)^x=1000, x=61 ,
61*3= 183 игры через 183 игры наш капитал увеличится в 1000 раз, и если посчитать (через формулу лапласа 183 игры
вероятность того что мы выйграем 61 и более раз ( F((121-183*0.66)/( sqrt(183*066*0.33)) — F(((121-183*0.66)/( sqrt(183*066*0.33)))=
=F(1.913) = 0.94 )
с вероятностью 94 % за 183 игры мы увеличим свой капитал в 1000 раз.
3. варант ставим 2 третьи капитала, 100+66=166, 166+110=276, 276 — 184 = 91.5, Внимание! итого
2 раза выйграв и 1 раз проиграв мы остамся в убытке на 8.5%!
4. Ставим треть капитала, 100 + 33 =133, 133 + 44 = 177, 177 -59 = 118, выгоднее чем половина, 18% И 12.5% на 5.5%.
5. Обший случай, 100 (1+x)(1+x)(1-x) => d/dx (1-x)(1+x)(1+x)=0 ,x =1/3 наибольшая стабильная прибыль если мы ставим треть капитала
d/dx (1-x)(1+x)(1+x)=0
6. вероятность выйгрыша 6/11 или 54.5% тогда (1-x)(1-x)(1-x)(1-x)(1-x)(1+x)(1+x)(1+x)(1+x)(1+x)(1+x)
www.wolframalpha.com/input/?i=d%2Fdx+(1-x)(1-x)(1-x)(1-x)(1-x)(1%2Bx)(1%2Bx)(1%2Bx)(1%2Bx)(1%2Bx)(1%2Bx)%3D0
Оптимально ставить по 1/11 капитала и за 11 игр 6 выйграв проиграв мы получим
www.wolframalpha.com/input/?i=(1-x)(1-x)(1-x)(1-x)(1-x)(1%2Bx)(1%2Bx)(1%2Bx)(1%2Bx)(1%2Bx)(1%2Bx)+,x%3D1%2F11
или
(1+1/11)^6*(1-1/11)^5 = 1.68*0,62=1.046
1.046, 4.6 % прибыли.
Выводы: не стоит ставить все деньги на кон, и если вероятность выйгрыша снижается нужно снижать ставки пропорционально,
если вероятность выйгрыша всего 51%
51/100 нужно ставить 1/100 своего капитала и через 100 игр мы заработаем (1.01)^51 * (0.99)^49 = 1.015 или 1.5% ,
если же мы будем ставить 1/10 капитала то через 100 игр у нас будет (1.1)^51*(0.9)^49 = 129*0.005= 0.73 т.е. убыток 27 %,
если же мы будем ставить половину то очень быстро лишимся всех своих средств, даже в выйгрышной игре.
то почему уже при 52% = 52/100=26/50=13/25 — получается уже достаточно одной четверти капитала?
или тогда 51/100=17/33 — достаточно трети капитала?
На этот счет уже есть математика управления капиталом. Формула Келли или формула оптимальной f.
К примеру, при отношении 2 к 1 с вероятностью 50% по Винсу нужно ставить 25%. Можно преобразовать так этот случай:
Здесь E — мат. ожидание, W — размер выигрыша, pw — вероятность выигрыша, L — размер проигрыша, pl — вероятность проигрыша.
То есть при вероятности выиграть 75%, ставить нужно 25% счета. У вас при вероятности выиграть 66% нужно ставить 33%. Вероятность выиграть меньше, а ставить по вашему нужно больше. Я думаю, ошибка в том, что вы не учитываете последовательности убыточных сделок. У вас максимальное число убыточных сделок подряд получается 2. А в реале их может быть сколь угодно много.
А так, вывод у вас правильный: если начинаешь лить, нужно уменьшить риск.
Вероятности выигрышей и проигрышей лучше брать из торгового журнала, а не из бектеста системы. Так как там учтены и другие факторы, а не сферический конь в вакууме.
Я сам вообще держу на активном счете 25%, чтобы не было даже возможности рисковать слишком сильно. Да и пока не найден грааль, глобальная вероятность заработать, активно торгуя, равна не более 50%. Так даже при риске 100% для активного счета, общий риск составляет 25% к счету.
Было бы еще лучше, если бы формулы были в нормальном виде. Пусть даже в форме картинок.