ЗАЧЕМ ТРЕЙДЕРУ ИЗУЧАТЬ ДВИЖЕНИЕ ПЬЯНИЦ ВОЗЛЕ БАРА?

Сегодня мы открываем цикл научно-популярных статей о теории вероятностей. А конкретно — о некоторых её неожиданных приложениях в финансовых делах.

Сотни лет математики без зазрения совести оперируют с бесконечными величинами: умножают, делят, сравнивают разные бесконечности между собой и т. д. Бесконечные величины — одна из самых абстрактных категорий математики, но иногда они влияют на реальную жизнь. В частности — на жизнь финансовую.

В теории вероятностей известны парадоксы, когда формулы обещают трейдеру бесконечные выигрыши, а фирме — бесконечное время процветания. Над такими ситуациями принято смеяться, считая, что математики — это какие-то “безумные учёные”. Но не всё так просто. Бывают случаи, когда бесконечности если не напрямую проникают в жизнь, то, по крайней мере, сильно “сквозят” на неё. О некоторых таких парадоксах мы и расскажем в этом цикле.

В теории вероятностей важное значение имеет задача о случайном блуждании точки. В исконной формулировке она весьма абстрактна: точка случайно движется в разные стороны. Но в жизни эта задача имеет множество конкретных приложений, в том числе — финансовых. Однако для начала мы познакомимся с ней не на экономическом, а на юмористическом примере: о случайном блуждании пьяного человека.

Блуждающие пьяницы в теории

Представим себе пьяницу, который вышел из бара и собирается куда-то идти. Но он настолько не ориентируется в пространстве, что каждый шаг делает в случайном направлении. Он не помнит, в какую сторону только что двигался. Правда, бар находятся в тупике узкой улицы, которая обнесена заборами. Движение возможно лишь в двух направлениях: от бара и обратно. Первый шаг пьяница делает всегда вперёд (из бара), а затем его движение случайно, но в рамках одной координаты: шаг вперёд, шаг вперёд, шаг назад, шаг вперёд, шаг вперёд, шаг назад, шаг вперёд, шаг вперёд и т. д. В математике такой процесс называется одномерным случайным блужданием.

Зададим ещё одно условие: если во время блуждания пьяница случайно вернётся к бару, то его остановят охранники, заведут в бар и уложат спать на ближайшее кресло.

Представим, что в баре много пьяниц. Они время от времени покидают его, но все к этому времени могут лишь случайно блуждать по улице. А мы наблюдаем за этим, зарисовываем траекторию каждого и отмечаем время, когда человек вернулся обратно в бар.

Зададим три вопроса:

• На каком расстоянии от бара, в среднем, окажется пьяница через N шагов?
• Каким будет медианное время возврата пьяниц (время, через которое половина пьяниц вернётся в бар)?
• Каким будет среднее время возврата пьяниц (суммарное время блуждания всех пьяниц делённое на их число)?

Первый вопрос имеет простой ответ, известный студентам: корень из N. Если пьяница сделает 100 шагов, то, скорее всего, окажется в 10 шагах от бара. Если сделает 10000 шагов — то в 100 шагах.

Второй вопрос легко решить из простейших соображений. По условию задачи, первый шаг пьяница непременно делает вперёд. Затем с вероятностью ½ он делает шаг обратно в бар. Значит, уже через 2 шага половина пьяниц вернётся в бар, потому медианное время возврата равно 2 шага.

Но третий вопрос имеет странный ответ, о котором обычно не говорят в университетах, и который особенно удивительно услышать после ответа на первые два вопроса. Многие люди не различают медианное и среднее время (как и, например, медианную и среднюю зарплаты). Но эти величины могут отличаться очень сильно. А в нашем случае, как доказали математики, среднее время возврата пьяницы к бару равно… бесконечности. По крайней мере, так следует из математических формул.

Как такое возможно? Попробуем разобраться.

Блуждающие пьяницы в мысленном эксперименте

Ещё раз вспомним, что такое средняя величина и как она вычисляется. Чтобы найти среднее положение пьяницы через N шагов и среднее время его возврата к бару, надо провести эксперимент много раз, в каждом случае измерить эти величины, а потом найти из них среднее арифметическое.

Допустим, что сначала мы проследили за пятью людьми и получили простые результаты. Два человека вернулись после 2 шагов (вперёд-назад), ещё один вернулся через 4 шага (вперёд-вперёд-назад-назад) и ещё два погуляли по 8 шагов по более замысловатым траекториям. Медианное время возврата составило 3 шага, что близко к теоретической оценке (2 шага). Среднее время возврата равно (2*2+1*4+2*8)/5=24/5=4.8 шага. Казалось бы, время очень маленькое, и никаких тебе “бесконечностей”.

Но 5 опытов — это слишком мало для хорошей статистики. В следующий раз мы решили отследить 20 человек. Мы получили картину, показанную на рисунке.

Половина участников “ралли” (10 человек), как и раньше, вернулись через 2-4 шага. Ещё 6 человек вернулись после одного-трёх десятков шагов. Но оставшиеся 4 человека ушли в “свободное плавание”, и их путешествия даже не влезли на график. Они вернулись, соответственно, через 140, 198, 202 и 298 шагов.

Среднее отклонение “путешественников” от начального положения вполне согласуется с теорией. Например, после 20 шагов теория прогнозирует расстояние 4-5 шагов (корень из 20). На графике в момент N=20 есть траектории лишь 7 человек (остальные давно спят в баре и мы их исключили из рассмотрения). Из них двое только что вернулись в бар (их отклонение равно нулю), один находится в двух шагах от бара, один в четырёх, двое в шести и последний — в 10 шагах. Среднее отклонение от бара составляет (2*0+1*2+1*4+2*6+1*10)/7=28/7=4 шага. Как и велит теория.

Медианное время возврата оказалось вдвое больше теоретической оценки — 4 шага. Но такая ошибка терпима при нашем не слишком большом числе опытов.

Куда сложнее обстоит ситуация со средним временем возврата. Оно составляет (7*2+3*4+1*8+1*10+2*20+1*30+1*34+1*140+1*198+1*202+1*298)/20 = 986/20 = 49.3 шагов (!). Этот результат не имеет с прошлым ничего общего, и всё из-за четырёх “авантюристов”. Почему их не было раньше? Случайность? Может, надо отследить ещё больше пьяниц, и тогда найдётся реальное значение среднего времени блуждания?

Подвох задачи состоит в том, что чем более масштабные эксперименты мы будем проводить, тем большим будет получаться среднее время возврата. Половина всех пьяниц будет добросовестно возвращаться после 2-4 шагов. Но среди оставшихся будет доля “авантюристов”, готовых уйти от бара очень далеко.

Графики вероятности нахождения пьяницы на улице после N шагов и вероятности его возвращения в бар ровно на N-м шаге (в линейном и логарифмическом масштабах по обеим осям). Оба графика при больших N являются степенными функциями, поэтому в дважды логарифмическом масштабе выглядят как прямые.

Математики вывели формулу, по которой можно вычислить вероятность возврата пьяницы в бар на N-м шаге и вероятность его нахождения на улице после N-го шага. В общем виде эти формулы сложны, и мы приведём лишь их графики (см. рисунок). Пьяница может вернуться в бар только на чётном шаге. На 2-м шаге вероятность вернуться в бар и вероятность остаться на улице равны 1/2. Вероятность вернуться в бар ровно на 4-м шаге равна ⅛, а вероятность всё ещё остаться на улице — ½-⅛=⅜. При больших N вероятность вернуться в бар обратно пропорциональна N в степени 3/2, а вероятность всё ещё быть на улице — корню из N.

Это означает, что часть пьяниц будет блуждать очень долго. Например, при N=100 на улице всё ещё останется каждый десятый из участников “забега”, при N=1000 — каждый тридцатый, при N=10000 — каждый сотый. В математике такие долгие возвраты со степенной статистикой называются “полётами Леви”. Парадоксальная особенность полётов Леви состоит в том, что с увеличением числа экспериментов их среднее время растёт.

Если у нас 10 человек, то самый “авантюрный” пройдёт примерно 100 шагов, а большинство остальных — 2-4 шага. Его длина прогулки может запросто превысить суммарную длину прогулок остальных участников. Их вклад в сумме даст 20-40 шагов, а его — 100 шагов. Среднее время возврата составит 12-14 шагов.

Если у нас 100 человек, то самый “авантюрный” пройдёт 10000 шагов, а большинство остальных — по-прежнему 2-4 шага. На этот раз их вкладом можно вообще пренебречь. Среднее время возврата составит порядка 100 шагов.

Длина пути самого “авантюрного” участника, как правило, будет пропорциональна квадрату числа участников, а среднее время возврата — пропорционально самому числу участников. С увеличением числа участников среднее время возврата будет стремится к бесконечности — хотя и сами по себе траектории конечны. В этом состоит странный, хотя и математически строгий и даже экспериментально проверяемый (с поправкой на ограниченность реально возможного числа опытов) результат.

Этот результат имеет принципиальное значение не только в вопросе о движения пьяниц, но и в более важном для нас вопросе — в вопросе о движении капиталов. Движение котировок ценных бумаг и валютных курсов, обогащение и разорение азартных игроков и реальных производственных фирм — всё это можно моделировать случайными процессами, которые часто сводятся к задачам о случайном блуждании точки по прямой. И там тоже случаются свои полёты Леви. Об этом мы поговорим в следующих частях.