Инвестиции: волатильность решает всё?
Одна из самых важных метрик риска для долгосрочного инвестора — максимальная просадка (drawdown). Она сильно влияет на психологию, в том числе провоцирует панические продажи, из-за которых весь хорошо продуманный инвестиционный план может провалиться. Нелегко терпеть потерю, например, 30% капитала.
Просадку можно пробовать предсказать. Как? Через волатильнось (то есть стандартное отклонение дневных доходностей). Волатильность, в отличие от доходности, довольно устойчивая величина. Вот аннуализированная (то есть умноженная на корень из 252) волатильность с годовым скользящим окном для S&P и золота.
Какое отношение это имеет к просадке? Просадку можно предсказать через волатильность, используя модель геометрического броуновского движения — GBM (да, она не самая идеальная для моделирования поведения рыночных активов, но для первого приближения пойдет).
Вот уравнение GBM:
Первое слагаемое в сумме справа отвечает за экспоненциальный рост актива с доходностью mu, а второе слагаемое — это случайные колебания с волатильностью sigma, той самой волатильностью, которую можно оценить через исторические данные.
Допустим, наш портфель имеет аннуализированную волатильность 20% (это на данный момент примерно равно волатильности индекса S&P и золота). Чтобы использовать модель GBM, нужно выбрать также mu: допустим, мы нацеливаемся на неплохую по мировым меркам среднюю годовую доходность 10%.
Теперь попросим Chat GPT оценить просадку за 10 лет с такими параметрами, проведя симуляцию модели GBM с помощью метода Монте-Карло:
Mean max drawdown: ~40.0%
Median max drawdown: ~38.5%
Это значит, что за 10 лет математическое ожидание просадки, то есть среднее от возможных просадок, составит аж 40% капитала!
Для демонстрации, что такое GBM, вот моделирование одного возможного пути актива и просадки. Для графика выше было взято 10 000 таких путей.
А что произойдет, если менять временной горизонт? Попросим чат ГПТ менять горизонт инвестиций от 1 года до 30 лет:
| Horizon | Mean Max Drawdown |
|---|---|
| 1 year | 18.2% |
| 5 years | 33.0% |
| 10 years | 40.0% |
| 20 years | 47.9% |
| 30 years | 51.4% |
За 30 лет ожидаемая максимальная просадка увеличивается аж до 50%! Интуитивно это понятно: чем дольше мы держим деньги в каком-то инвестиционном инструменте, тем бо́льшую просадку нам, скорее всего, придётся увидеть и почувствовать на собственной шкуре.
Зависимость похожа на логарифмическую, и, возможно, для неё уже выведена формула, но точной аналитической формулы, или хотя бы асимптоты, я пока найти не смог (чат ГПТ тоже не помог, выводит зубодробительную простыню формул в ответ на этот вопрос)*.
Какая практическая рекомендация?
1) Выбрать психологически удобную просадку и горизонт инвестиций (например 30% просадки за 20 лет).
2) Исходя из этого, рассчитать таргетную волатильность
3) Составлять портфель, подгоняя под таргетную волатильность. Можно использовать формулы Марковица, готовые пакеты на Питоне или просто чат ГПТ.
Я пользуюсь этим алгоритмом год — и пока очень доволен: просадки небольшие, доходность неплохая, на душе спокойно. Да, год это очень мало, чтобы говорить о какой-то статистической значимости, но я решил поделиться сейчас, а не через 20 лет.
*Update: Чат ГПТ всё-таки выдал приближенную и асимптотическую формулы (за точность, как обычно с ИИ, нельзя ручаться, нужно перепроверять).
Предлагаю делать проще
Больше всего двигает рынок Трамп
Нужно аппроксимировать его заявления
Но мне кажется нельзя использовать «среднее» (средний drawdown) для оценки рисков.
И, волатильность может быть не лучшим предсказателем максимальных потерь, волатильность хорошо предсказывает «в среднем», а для рисков в первую очередь интересно «в частном».
Alex Craft, да, полностью согласен, поэтому я и вывел на графике также распределение и медиану — можно использовать процентили или что-нибудь такое.
Чат ГПТ подсказал кучу статей по этой теме. В тех, что я просмотрел, тоже считается матожидание, как и у меня. Очевидно, что подход хорошо изучен, и не мне первому пришел в голову.
Magdon-Ismail, M. & Atiya, A. (2004) — Maximum Drawdown, Risk Magazine
Douady, R., Shiryaev, A., & Yor, M. (2000) — On Probability Characteristics of Drawdowns, Theory of Probability and Its Applications
Chekhlov, A., Uryasev, S., & Zabarankin, M. (2005) — Drawdown Measure in Portfolio Optimization, Journal of Risk
Goldberg, L. R. & Mahmoud, O. (2017) — Drawdown: From Practice to Theory and Back Again, Mathematics and Financial Economics
Berkelaar, A. & Kouwenberg, R. (2000) — Optimal Portfolio Policies under Drawdown Constraints, JEDC
Stutzer, M. (2003) — Portfolio Choice with Endogenous Utility: A Quantitative Model of Drawdown Aversion, JFQA
Novikov, A., Shiryaev, A. & Yor, M. (1999) — On Distribution of the Maximum Drawdown of Brownian Motion
Young, T. (1991) — Calmar Ratio and Drawdown, Futures Magazine
— обвал турецкой биржи на 17% в марте 2025 (я живу в Турции и инвестирую в турецкую биржу)
— текущий отскок золота на 10%.
Drawdown моего портфеля за этот год не превысил 5%, причем CAGR составил 30% (в долларах).
На таком коротком временном отрезке это может быть случайность, но я благодарю Марковица: при составлении портфеля я снижал суммарную волатильность, используя корреляцию между активами.
(Кстати, вот еще один интересный результат из Марковица: он рекомендует игнорировать биткоин. Слишком волатильный и сильно коррелирует с S&P, поэтому модель рекомендует вкладываться в S&P вместо биткоина. Что я и делаю: не знаю, хорошо ли это, или плохо, но не люблю волатильность).
Про Марковица важно знать лишь одно.
В конце жизни (несмотря на все свои знания и опыт) он держал все свои активы в пропорции 50% акции /50% облигации, в чем признавался во многих интервью.
Лучше в покер играть, вот мне там математики не хватает.
А на бирже побеждают социологи и политологи, даже не экономисты
Такая кривая сильно не похожа ни на золото, ни на СнП. Не лучше ли просто сгенерировать 10 000 кривых из исторических дневных доходностей обоих активов? (в идеале было бы кластеризацию волатильности еще учесть, чтобы характер просадок не поменялся...)
Так вот же, все выведено (там правда реально много этажей...): Magdon-Ismail M, Atiya AF, Pratap A, Abu-Mostafa YS. On the maximum drawdown of a Brownian motion. Journal of Applied Probability. 2004;41(1):147-161. doi:10.1239/jap/1077134674
Но если коротко, то для mu>0 зависимость логарифмическая, для mu=0 коренная, а для mu<0 линейная:
Eth_algotrader, классный коммент, спасибо!
>> Монте-Карло через чатГПТ? А вы точно верите тому, что он вам посчитал? :))
Я обычно просматриваю Питон-код, который он генерит (под ответом есть стрелочка, куда можно нажать и посмотреть код), и там всё вроде выглядело норм, но на 100% не уверен, всё это конечно нужно перепроверять перед принятием серьезных решений. Но похоже, вы правы, доходность за 10 лет слишком низкая получилась на этом графике.
Генерить пути из реальных доходностей золота и S&P не хочу, потому что моя задача была другая: сейчас я держу свой портфель в рамках 7-10% волатильности (там 6-7 активов), и мне стало интересно, какой средний максимальный drawdown мне грозит в течение следующих 10 лет. Потом я подумал, что может иметь место и обратный подход к инвестированию (не drawdown через задануню волатильность, а волатильность через заданный drawdown).
>> Но если коротко, то для mu>0 зависимость логарифмическая, для mu=0 коренная, а для mu<0 линейная
Просмотрел статью: они вроде это посчитали для обычного броуновского движения, а не для геометрического. Можно попробовать перевести этот результат в геометрическое, но легче просимулировать через Монте-Карло.