Игра с вероятностью. Секрет математического ожидания

В трейдерской тусовке нередко встречается термин «математическое ожидание».

К счастью, большинство участников рынка воспринимает его лишь как пропорцию выставляемых тейк-профита и стоп-лосса при входе в сделку для оценки потенциальной прибыли.

В зависимости от способа вычисления, умозаключения часто сводятся к следующему:

Оптимальным является отношение тейка к стопу 3 к 1

Не буду давать оценку подобному выводу, но по моим практическим изысканиям вероятность выбивания позиции по стопу настолько выше, насколько он ближе расположен от точки входа относительно тейка.

И если уж использовать стоп-ордер в торговле, то разумнее размещать его хотя бы на равноудалённом расстоянии.

В своей торговле я вовсе не использую стопы, постоянно находясь в рынке за счёт разнонаправленной сетки лимитных ордеров, т.к. стоп-ордер в стакане — это гарантированный убыток для всей торговой системы...

Любая сделка на бирже — это игра с вероятностью.

В своих постах я постоянно напоминаю, что среднестатистический трейдер не может существенно влиять на цену инструмента, объёмы сделок и настроение участников, а значит в наших силах лишь управление собственными рисками и оценка вероятности их наступления.

Будем разбираться

Представим, что трейдер вошёл в сделку и ожидает исхода: прибыль или убыток.

Разместив тейк относительно стопа в пропорции 3/1, он рассчитывает на положительный результат с вероятностью 50%.

Однако, прогнозировать подобную вероятность при имеющихся условиях не совсем корректно, т.к. статистически с такой вероятностью цена может пройти одинаковое расстояние в обоих направлениях, а значит при заданном значении отношение не может быть отличным от 1/1.

Райан Джонс в своей книге «Биржевая игра» приводит расчёт положительного математического ожидания в примере с подбрасыванием монетки:

М = (1 + (W / L)) * Р — 1

где:
М — математическое ожидание,
W — выигрыш,
L — проигрыш,
Р — вероятность успеха.

Применим эту формулу в нашей задаче с трейдером, подразумевая под терминами стоп и тейк, соответствующие вход и выход в сделках (для расчёта использованы параметры одного из реальных фьючерсных контрактов на Мосбирже, а количество входов/выходов принято равным 5!!!).

Мат.ожидание при равнозначной пропорции стоп-ордеров:



Но мы помним, что трейдер решил «сломать» систему и хочет заработать никак не меньше 3-х кратного значения возможных потерь.

В таком случае вероятность успеха будет снижаться обратно пропорционально удалению тейка от точки входа при неизменности стопа:



Как видим, вероятность такого исхода будет стремиться к нулю, а мат.ожидание станет ниже нуля, т.е. при таком расположении стоп-ордеров нас ожидает убыток.

Напомню, если М = 0, то результат беспроигрышный.

Посмотрим, изменится ли вероятность и мат.ожидание при сравнении диаметрально противоположных подходов к торговле:



В случае с более коротким тейком вероятность успеха повышается до 83%, а мат.ожидание становится выше нуля.

Но какие значения тейка и стопа являются наиболее оптимальными для нашего горе-трейдера?

Построим таблицу:



Как ни странно, но наивысшее мат.ожидание (0,333) демонстрирует вариант, при котором трейдеру стоило бы выставить стоп (входить в сделку) на расстоянии 23 пункта от входа при тейке (выходе из сделки) 15 пунктов, при этом вероятность положительного исхода около 67%.

Это даже не 1/1, а 0,7/1.

Вот вам и игра с вероятностью...

Резюме

Вышеприведённый пример с трейдером содержит столько же условностей, как и пример с подбрасыванием монетки.

Мы не учитываем силу бросания, неравномерность плотности металла, порывы ветра, магнитное поле и ещё массу всевозможных факторов, как и весь тот хаос, который происходит на финансовом рынке.

Тем не менее, даже самый примитивный расчёт математического ожидания на основе вероятности выигрыша даёт неплохие результаты в практических спекуляциях.

Попробуйте создать собственную таблицу и «поиграть» с различными вариантами количества входов и расстояниями между ними и вы сделаете для себя немало удивительных открытий.

А как выбирать оптимальный шаг сделок я описывал в одном из постов про трейдинг:
ATR и ордера. Математика для скальпера

Да пребудет с вами профит!