Информация
Блог им. Kurbakovsky
Несколько неудобных вопросов, касающихся методов расчета справедливой стоимости опционов. Вопросы 3,4.
- 04 декабря 2018, 16:30
- |
3. Оправдано ли использование логарифмического нормального распределения для описания терминального состояния базового актива
Можно догадаться, почему именно логнормальную модель распределения использовали Блэк и Шолес при решении задачи о нахождении справедливой стоимости опциона. Модель с гауссовыми приращениями брать было нельзя – она допускает уход цены БА в отрицательную область. Следующая, относительно простая логнормальная модель вполне годилась. Найденное на ее основе решение стало основой всей современной теории опционов.
Теперь ложка дегтя.
Мы предполагаем, что приращения цен акций, входящих в расчет индекса РТС, независимы и подчинены закону логарифмического нормального распределения. Поэтому при вычислении цен опционов на эти акции мы используем формулы БШ.
Но, согласно Центральной предельной теореме, из этого же предположения следует и то, что распределение приращений их линейной комбинации (то есть самого индекса РТС) должно быть близким к нормальному, тогда для расчета стоимости опционов на индекс РТС правильнее использовать формулу Башелье. Тем не менее, мы используем формулу БШ. Видимо, в расчете на то, что кривая волатильности все исправит.
4. Оправдано ли представление эволюции цены базового актива случайным процессом
И наконец, почему мы вообще решили, что имеем дело со случайными процессами? Существуют ли объективные методы подтверждения или опровержения этой гипотезы?
Случайность — это “цепь невыясненных закономерностей, скрытых за порогом нашего понимания”. Предположение о случайном поведении цен можно делать только будучи уверенными в том, что все участники рынка равны в степени своей неосведомленности, а это в высшей степени сомнительно.
Рассмотрим пример. Дано разложение иррационального числа в бесконечную десятичную дробь. Пусть это будет число ПИ=3.14159265 ….. Сформируем на основе этого разложения детерминированный процесс. При появлении четной цифры делаем шаг вверх, при появлении нечетной – вниз. Никакими методами статистики этот детерминированный процесс нельзя отличить от случайного!
Если в степени своего незнания все участники рынка равны и рассматривают процесс как случайный, игра будет честной. Если же хотя бы один из игроков знает о процессе больше других, он сможет предсказывать будущие приращения цены и, следовательно, постоянно выигрывать. Остальные игроки смогут усомниться в своих предположениях только по отрицательной динамике торговых счетов. По всем остальным статистическим признакам процесс будет по-прежнему выглядеть, как случайный.
И наконец, управляемые процессы. Хороший пример – шахматы. Чем хуже разбирается в них сторонний наблюдатель, тем больше у него оснований полагать, что поведение фигур на доске подчинено случайным законам. Только серия проигрышей тому, кто знает о шахматах больше, заставить его изменить свое мнение.
Иными словами, для того, чтобы убедиться в применимости или неприменимости аппарата ТВиС в каждом конкретном случае, необходимо использовать нестатистические методы исследований, которых в классической теории опционов нет.
Можно применять для приблизительной оценки? МОЖНО.
Оправдано, поскольку при недостатке информации о закономерных процессах или других событиях влияющих на результат, конечный пользователь (трейдер) имеет для себя случайный процесс.
Автор, приведите пожалуйста ссылку или цитату Блэка или Шоулза, которая подтверждает что в модели Блэка и Шоулза используется постулирование что "приращения цен акций,… независимы и подчинены закону логарифмического нормального распределения. Поэтому при вычислении цен опционов на эти акции мы используем формулы БШ."
Ну или если я вас неправильно понял и вы ничего такого не имели в виду, то подтвердите что я ошибся.
Спасибо. Это очень существенно. Учитывая что акций в индексе конечное число, степень близости итогового распределения к нормальному вызывает большой вопрос.
3. Конечно, это предположение теории БШ — не выполняется. Достаточно взять исторический ряд цен на нужный фьюч и составить распределение приращений логарифмов цены. Я пробовал — на нормальное распределение и близко не похоже. В реале вероятность очень маленьких приращений гораздо выше, чем предсказывает нормальное распределение. А вероятность очень больших приращений — гораздо больше чем у нормального.
Но еще хуже (имхо), невыполнение другого предположения у БШ: что торговля ведется непрерывно и нет гэпов. В реале то это не так. Поэтому их способ вычисления справедливой стоимости, через хеджирование фьючом проданного опциона — не сработает. Нельзя заранее с помощью фьюча подготовится к гэпу. Можно только после. Но поезд то уже ушел, цена стала совсем другой. Убыток по проданному опциону — большой, и запоздалый хедж фьючом уже ничего не даст, и полученный убыток не покроет.
А вот если считать справедливую стоимость через МО по распределению вероятностей, то гэпы там прекрасно можно учитывать (через толщину хвостов).
a+s*n, где n — стандартное нормальное распределение, а а и s — случайные величины (s — неотрицательная) .
А в свою очередь это распределение соответствует нестационарному нормальному процессу.
А. Г., пока Вы не конкретизировали характеристики случайных величин А и S эта запись неконструктивна. Можно записать любую функцию со случаными параметрами какого-то вида — и она тоже даст тяжелые хвосты и все прочее.
Также насколько понимаю, есть процедура формального разложения одних СВ на другие. То есть любую СВ можно представить суммой нормальных СВ с определенными параметрами и весами. Можно ли на основании этого сказать, что "исходная СВ — нормальна"? Имхо, нет. Мы просто раскладываем в тот базис, в котором нам удобно.
Но заменять одну СВ на три — это не выглядит удобным и приближающим нас к Цели (или хотя бы упрощающим разбор ситуации).
А для опционов тоже можно было бы покопаться, но нужна ликвидность. При больших спредах слишком много «свободы» и можно «находить» и то, чего нет.
1. Насколько эквивалентны две модели a+s*n(0;1) и n(a;s)?
2. В том, что у рынка нестационарно нормальное распределение ведущим является нестационарность, а не нормальность. Т.е. для нас важнее, что оно нестационарное, чем то, что оно нормальное. Ну… скажем… пусть оно будет нестационарным лапласовским, ведь у распределения Лапласа есть и МО и дисперсия, которые позволят его и смещать и масштабировать. В этом смысле можно ли утверждать, что у рынка нет распределения… довольно странное утверждение. Грубо говоря, у рынка есть ограничения и на a и на s по факту. Т.е. для нас важнее нестационарность, из которой следует отсутствие распределения как закона распределения.
3. Из обратной крайности. Что значит нестационарность? Она по логике вторична к стационарности и возникает, когда этой самой стационарности нет. Т.е. всё-таки для нас важно какое-то представление об исходном распределении хотя бы в смысле центра и масштаба, которые если изменяются случайно, то возникает нестационарность, о которой говорить имеет смысл, если между моментами разладки всё же какая-то стационарность возникает. Т.е. ничего лучше модели a+s*n(0;1) в первом приближении быть не может?
4. Тогда снова вопрос. Почему не n(a;s)? И почему не какой-нибудь нестационарный Лаплас, который чисто по ощущениям как единица разложения вроде как ближе к выборочным распределениям с рынка?
1. Это разные записи одного и того же.
«Цимус» нормальности в том, что даже на нестационарном исходном ряде можно построить статистики, не зависящие от а и s с известными распредениями, например, Стъюдента.
А Лаплас, кстати, тоже выражается как a+s*n(0;1). Так что это частный случай. Как и Стъюдент, кстати.
Это только всякие смешанные модели типа: нормальные «в центре» и Коши «на хвостах» отсекаются.
4. Имхо, оправдано. Возможно, существует некий «Бог», который все знает наперед. Но, открывая позицию на рынке, мы же вступаем в спор не с ним, а с простыми смертными. А кто из них может 100% точно угадывать будущую цену? Причем делать это регулярно. Имхо, таких нет. Иначе, они бы уже давно пропылесосили весь рынок и всех оставили бы без штанов.
Так что, цена БА в будущем — это случайная величина (для нас и для наших контрагентов, а если кто-то сверху ухмыляясь всезнающим оком на это смотрит — то и ладно). А случайная величина изменяющаяся во времени — это случайный процесс. А случайный процесс — это такой процесс, зная который мы можем вычислить справедливую стоимость опционаи выиграть все деньги мира.
Имхо, более интересный вопрос — всегда ли прав рынок и всегда ли то распределение вероятностей, которое он подразумевает — самое точное? Я пробовал строить историю точности рыночного распределения — и оно получилось далеким от идеала. Получается, что шанс обыгрывать рынок (не «Бога») — есть :)
1. Возможно там немного тролинга, так что ничего не значит.
2. С тем же примером про ПИ, да можно там найти любой график, даже тот который будет завтра. Но дело в том, что это только один отрезок и автор умалчивает, что там есть другие отрезки описывающие все возможные комбинации того же графика. Да можно угадать с помощью какого-нибудь ТА этот отрезок, но это ничего не значит. А вот поиграть со словом не повторяющийся было б интересно.
3. Пропылесосить не получится, т.к. главным врагом в какой-то момент станете Вы сами. Хотя если знать цены наперед тогда да, но опционы для этого не нужны.
4. Если будет справедливая стоимость, то все Game Over (вечная экспирация).
5. Перекосы бывают и исправляются они не только ценой БА, но и ценой опциона у Вас это IV, ну и время по разному влияет. На экспирацию конечно все проще.
п3. Взяли готовую формулу, стали ее применять для вычисления айви. Имеем право. Могли взять синус за основу или гиперболу.
И давайте не будем путаться: применение формулы БШ на каком-то этапе вычислений вовсе не говорит о том, что мы "согласны с теорией БШ и с лог-нормальностью рынка".
п4. Если что-то выглядит как СВ, ведет себя как и СВ и не содержит в себе обнаружимых закономерностей, то почему мы должны отказывать себе в удовольствии использовать наработки из теорвера и матстатистики?
Иными словами.
— Гипотеза Но — рынок — это случайный процесс.
— Альтернатива На — рынок — это НЕ случайный процесс.
Из Ваших же слов получается, что "никакие Ваши измерительные процедуры объективного анализа не позволяют отвергнуть гипотезу Но".
Поэтому в соответствии с общей методикой матстастистики мы имеем право работать в условиях гипотезы Но и дальше.
Если Вы предъявите измерительную процедуру, которая продемонстрирует неслучайную природу рынка (на практически важных интервалах времени до 1 недели, до 1 месяца) — тогда гипотеза Но будет отвергнута.