Алгоритмы маркетмейкера. Часть 4

Прошлые части цикла здесь. В этой части статьи мы найдем численное решение системы уравнений оптимального управления позицией маркетмейкера. Такое решение легко запрограммировать и использовать в реальной торговле для контроля за лимитными и маркет ордерами в соответствии с полученными стратегиями θmk,θtk. Для упрощения разложим функцию владения на слагаемые, чтобы получить сокращенную функцию владения v(t,y,f,s), которая представляет собой только динамическую составляющую основной функции:

Для v система уравнений выглядит следующим образом:

с терминальным условием:

Переходим к численному решению. Зададим на интервале [0,T] дискретную сетку времени t с равными интервалами :

Также дискретизируем открытую позицию и дисбаланс объема , с максимальными значениями и шагами дискретизации, где

Далее, для вычисления численных производных по дисбалансу объема F, определим две дифференциальные матрицы — D1 для вычисления производной первого порядка и D2 — для вычисления производной второго порядка, на сетке :

Обозначим оператор выбора для любой действительной функции :

Оператор выбора имеет простой смысл: если некая функция ϕ максимальна при воздействии оператора (что для функции владения соответствует использованию лимитных ордеров) или оператора(использование маркет ордеров), то при текущих параметрах t,y,f,s выбирается именно эта политика (то есть лимитные или маркет-ордера).

Выражения для операторов в фигурных скобках:

.

здесь — матрица идентичности размерностью(матрица, где по главной диагонали расположены единицы, остальные элементы 0), — столбец значений дисбаланса, — единичный вектор размерностью,… означает поэлементное произведение векторов и матриц. Таким образом,представляет собой вектор размерностью на сетке.

Аппроксимируем сокращенную функцию владения v численным решением w:

Полное решение для функции владения можно получить методом обратной индукции, который состоит из следующих последовательных шагов:

1. На конечный момент времени: для каждой комбинации значений (y,f,s) вычисляем .

2. Начиная с момента времени tk+1 до момента tk, где k пробегает значения отдо 0 для каждой комбинации (y,f,s) делаем следующее:

• Вычисляемпо вышеприведенной формуле и находим политику лимитных ордеров
• Вычисляем, и находим политику маркет ордеров
• Если, то текущей политикой на момент времени tk выбирается, при значениях (y,f,s), то есть в этот момент времени используюся лимитные ордера, согласно значению, которое, как мы помним означает выставление ордера, с количеством контрактов =1, или на лучший бид/аск, или перед/до него.
• В обратном случае выбирается политикав момент времени tk при значениях (y,f,s), то есть используются маркет ордера с количеством контрактов, вычисленных в

Таким образом, для всех значений времени t, всех значений открытой позиции y, всех значений дисбаланса объемов f и всех значений спреда s — (t,y,f,s)- мы определяем, какие ордера нам ипользовать в каждом случае, и формируем области, подобные указанным на графике в заглавии, где изображены политики при значениях спреда, равному шагу цены, и значению времени, меньше на 3 единицы (например, секунды) времени окончания торговли, для всех значений открытой позиции и спреда. Что означают эти области, вы можете посмотреть в части 2 и части 3 данного цикла статей. В следующей статье обсудим, как находить параметры в уравнении для, основываясь на реальных биржевых данных, и начнем составлять код на C# для численного решения методом обратной индукции.

Продолжение смотрите на моем сайте (см. профиль) или через некоторое время на смарт-лабе. Прошлые части статьи — в моем блоге.