<HELP> for explanation

Блог им. OM77

Measuring Historical Volatility

Вычисление подразумеваемой (implied) волатильности – задача хоть и не тривиальная (требуется знание численных методов), но весьма простая. К тому же  мы всегда имеем уникальное единственное решение – значение волатильности для заданного опциона. С исторической (historical) волатильноcтью дела обстоят несколько сложнее. Количество наблюдений, участвующих в расчетах, и метод ee оценки оказывают сильное влияние на конечный результат.

За основу данного поста взят материал из моей статьи в Financial One.

Рассмотрим основные методы оценки исторической волатильности и разберем их особенности.

В срочной секции Московской Биржи активно торгуются фьючерсы на обменный курс доллара США к рублю и опционы на этот контракт. В последнее время волатильность данного фьючерсного контракта возросла. Оценим его историческую волатильность.

Так как срочный контракт имеет ограниченный срок обращения, заменим его спотовым активом – валютной парой USD/RUB. Корреляция этих активов крайне высока. Для учета разницы во времени торгов будем использовать внутридневные цены только из временного интервала, соответствующего дневной торговой сессии на срочном рынке Московской биржи – с 10:00 до 18:45. Для этих данных вычислим дневные цены: open (O), high (H), low (L), close (C ) – и будем использовать полученные данные для расчета исторической волатильности.

Оценку волатильности будем производить по 22 торговым дням (примерно 1 месяц) следующими методами: Close-to-close, Parkinson, Garman-Klass, Rogers-Satchell, Garman-KlassYang-Zhang extension, Yang-Zhang.

1. Close-to-close (C )

Наиболее часто употребляемый метод для оценки исторической волатильности. В расчетах используются только цены закрытия (close). Формулы и подробное описание смотрите на моем сайте quant-lab.com

2. Parkinson (HL)

При оценке данным методом используются максимальные (high) и минимальные (low) цены торговой сессии. Данный метод не учитывает jumps (прыжки – разрыв в ценах закрытия и открытия между сессиями). Также метод не учитывает drift (направленное движение, тренд). В среднем это метод недооценивает волатильность, но тем не менее он эффективней предыдущего метода (см. Таблицу 1).

3. Garman-Klass (OHLC)

Оценка наиболее эффективна для активов с динамикой броуновского движения, с нулевым дрифтом и без прыжков. Хотя данный метод эффективнее двух предыдущих, тем не менее, он как правило недооценивает уровень волатильности.

4. Rogers-Satchell (OHLC)

Эффективность данного метода соизмерима с методом Garman-Klass. Однако это метод учитывает дрифт, но недостаточно хорошо «справляется» с прыжками, что приводит к недооценке волатильности.

5. Garman-Klass Yang-Zhang extension (OHLC)

Этот метод позволяет учитывать разрывы в ценах между открытием торговой сессии и закрытием предыдущей (jumps), но подразумевает нулевой дрифт.

6. Yang-Zhang (OHLC)

Наиболее мощный метод для оценки исторической волатильности, имеющий минимальный уровень ошибки. Оценка равна взвешенному среднему оценки Rogers-Satchell, close-open волатильности и open-close волатильности.

Результаты сравнения методов по признакам: какие данные используются, учитываются ли drift и jumps, а также эффективность каждого метода согласно [1] приводятся в Таблице 1.

Таблица 1. Сравнение методов
Measuring Historical Volatility

Динамика обменного курса USD/RUB и значения волатильности, рассчитанные указанными выше методами изображены на Рисунке 1. Период: 2013-01-08 – 2014-06-13.

Рисунок 1. Динамика обменного курса USDRUB и исторические волатильности
Measuring Historical Volatility

Максимальное текущее значение волатильности показывает метод Yang-Zhang, имеющий максимальный рейтинг согласно Таблице 1. Стоит отметить, что это не случайно, т.к. остальные методы склонны занижать оценку волатильности.

Интересно, что динамика волатильности на двух нижних графиках не согласуется с динамикой на остальных графиках, на которых волатильность обновила локальный минимум. Вероятная причина этого – наличие прыжков, наблюдаемых в последнее время на рынке. Принимая это во внимание, а также тот факт, что подразумеваемая волатильность сейчас находится на своих локальных минимумах, можно сделать предположение, что рынок недооценивает волатильность USD/RUB.

На Рисунках 2 – 7 представлена динамика исторической волатильности, рассчитанной различными методами, в сравнении с ее средними значениями за месяц, квартал, полгода и год.

Рисунок 2. Историческая волатильность Close-to-Close
Measuring Historical Volatility

Рисунок 3. Историческая волатильность Garman-Klass
Measuring Historical Volatility

Рисунок 4. Историческая волатильность Parkinson
Measuring Historical Volatility

Рисунок 5. Историческая волатильность Rogers-Satchell
Measuring Historical Volatility

Рисунок 6. Историческая волатильность Garman-Klass Yang-Zhang extension
Measuring Historical Volatility

Рисунок 7. Историческая волатильность Yang-Zhang
Measuring Historical Volatility

Согласно этим графикам волатильность снижается и находится сейчас ниже своего среднего годового значения, имеющего нейтральную динамику последние два месяца. Среднемесячная волатильность тем не менее находится выше среднего значения волатильности за год, но ниже квартального и полугодового. Тот факт, что волатильность, не встречая сопротивления, снизилась ниже своих полугодовых и годовых средних значений, придает уверенности, что нисходящий тренд в динамике волатильности достаточно сильный, и это движение вероятно продолжится.
 

зачем вы скопировали статью из fomag?
avatar

Bocman

пардон. сейчас поставлю ссылку на FO
А каким периодом вы их считаете? Также я бы заметил что польза от этих методов наиболее полно проявляется на младших тайм фреймах( меньше дня)
avatar

Orbus

таймфрейм — дневной. на каких таймфреймах вы считаете?
Oleg Mubarakshin ~ Quant-lab, я делаю расчеты исключительно с практической целью, поэтому беру разные в зависимости от того что у меня с дельта гамма риском. А для оценки хеджирования беру часовики( сглаживаю).
avatar

Orbus

Что такое эффективность в Вашей таблице и куда прикладываете посчитанную волатильность?
avatar

SergeyJu

Эффективность обратно пропорциональна дисперсии оценки волатильности. Для больших значений дисперсии требуется больше наблюдений. Подробнее здесь: Colin Bennett, Miguel A. Gil. Measuring historical volatility. Equity Derivatives, February 3, 2012

Историческую волу считаю, чтобы сравнивать ее с имплаид и реалайзд
Oleg Mubarakshin ~ Quant-lab, что имеете ввиду под реализованной волой в данном случае?
Стас Бржозовский, волу посчитанную по 5 (10,15, кому что нравится) -минуткам внутри дня. 1 день — 1 значение реалайзд.
Oleg Mubarakshin ~ Quant-lab, то есть что то вроде «короткой ашви» получается?
Стас Бржозовский, ага. показывающей насколько часто приходится «работать руками» внутри дня )
Oleg Mubarakshin ~ Quant-lab, Олег, я запутался немного. Что Вы имеете ввиду под а) исторической б) реализованной?
>> волу посчитанную по 5 (10,15, кому что нравится) -минуткам внутри дня. — это какая?
Иван Дворцов, реализованная это
Oleg Mubarakshin ~ Quant-lab, имхо, это бессмысленная оценка эффективности.
Нас интересует прогностическая ценность индикатора, а не оценка его дисперсии.
SergeyJu, приведенные в полней версии статьи (на сайте Олега) формулы скорее всего являются точными при определенных моделях динамики базового актива (в верхних способах, очевидно, при экспоненциальном броуновском движении, в последних — с добавлением сноса и как-то-правильно распределенных скачков).
В рамках этих моделей все оценки наверняка являются несмещенными, а несмещенные оценки между собой могут различаться только разбросом оценок вокруг истинного значения. Так что критерий точно не является бессмысленным, но к прогнозированию в реальном мире эти цифры отношения не имеют.
Андрей Агапов, если возиться с моделями ради самих моделей, можно вводить любые оценки эффективности и они буду в каком-то смысле небессмысленными.
Но в логике создания инструментов прогнозирования ( а любая торговля, кроме гэмблинговой, отражение каких-то способов прогнозирования), под эффективностью хотелось бы понимать меру прогностической ценности оценки.
К сожалению, в математике слова типа «оптимальный» и «эффективный» временами очень далеки от того смысла, который мы в них вкладываем интуитивно.
1000 и 1 способ посчитать историческую волатильность, имхо. а для выбора лучшего единый критерий так и не придумали.
avatar

Mr. Bean

Mr. Bean, «лучшего» критерия не может быть. Просто потому, что критерий зависит от способа использования оценки.
Использование слов «оптимальный», «эффективный» и так далее без описания критерия и цели его применения я считаю разновидностью манипулирования, если, конечно, тот, кто использует такие слова, реально понимает, что пишет.
SergeyJu, согласен, по-хорошему критерий надо было описать, но я же дал ссылку на статью откуда этот критерий взял. считаю это допустимо.
2 ремарки.
Во-первых, ты сравниваешь волатильность, оцененную по дневной OHLC-статистике, с волатильностью, посчитанной внутри дня по 5-10-15 минуткам. Первое, что бы я сделал, это сравнил на истории посчитанную по дневкам (хоть по C_i/C_{i-1}) волу и использованную тобой посчитанную по 5-10-15 минуткам.
Скорее всего, ты выяснишь, что вола, посчитанная по малым таймфреймам в среднем больше, чем посчитанная по дневкам. Это связано с сильной негауссовостью на малых таймфреймах, приводящей к тому, что правило «корень из T» там не работает. Поэтому у тебя образуется множитель для приведения «дневочной» волы к «по-10-минутной», «по-5-минутной» и т.п. (причем, подозреваю, что для каждого малого таймфрейма свой) — больший единицы и позволяющий приводить твои оценки к тому, что ты в измеряешь. После этого выводы о «заниженности» оценок могут измениться.

Ну и во-вторых, в реальном финансовом мире, по моему представлению, мерить второй момент в принципе неправильно. Поскольку реально тебя интересует амплитуда колебаний, а не стандартное отклонение. Вспомни мои любимые устойчивые процессы Леви — дисперсия бесконечна, но опционы под ними отлично прайсятся, если конечно матоожидание. Реальный мир — это все же мир степенных хвостов и второй момент в таком мире — нечто, чего при разумном моделировании может и не быть. Так что лучше везде строить оценки первого абсолютного момента — таково мое убеждение.
Андрей Агапов, я бы вставил 2 раза по «свои 5 копеек»))
1) почему вообще речь про какие то таймфреймы идет, если понятие «вола» мы применяем к опционам? Я не очень уверен, что кто то хеджит «1 раз в t минут», скорее через определенное количество пунктов БА. Если считать «волу» сообразуясь с таким подходом к хеджу, то выбор шага хеджа сильно не влияет на «волу» (в разумных пределах). Правда, есть качественные переходы между «очень маленьким шагом», «разумным шагом», «большим шагом», но это тема отдельная.
2) при чем тут амплитуда? По моему амплитуда и «вола» (как последнюю ни считай) живут почти в разных мирах
Стас Бржозовский, по пункту 2 не согласен.
Цена опциона по сути своей отражает вероятность того, что цена окажется по некоторую сторону от страйка и величину (амплитуду) отклонения цены от страйка.
А вола есть монотонная функция цены опциона.
Стас Бржозовский, в заметке шло сравнение прогнозной волатальности, посчитанной разными методами по дневкам, и реализованной, посчитанной внутри дня по 5-10-15 минуткам. Все, что я сказал, — это что напрямую историческую волу, посчитанную по 15-минуткам, приводит к дневой, умножая, условно, на корень из 35 нельзя. (35 — число 15-минуток внутри основной торговой сессии). Нужен дополнительный множитель.
А поскольку речь в заметке шла о недооценке/переоценке, то этот фактор может оказаться существенным с точки зрения выводов статьи.
Суть второй части моей ремарки — в том, что с точки зрения нашей опционной жизнедеятельности мне представляется правильнее мерить линейные характеристики силы колебаний, а не квадратичные. То есть E|X|, а не Sqrt(E(X^2)). Напомню, что в случае гауссовского распределения эти 2 величины «идентичны» с точностью до постоянного множителя Sqrt(2/Pi).
Я пояснил в первом сообщении, почему я считаю, что в реальном мире первое измерять правильнее, чем второе. Но это в любом случае вопрос больше веры и философии. Эту точку зрения никому не навязываю, но рекомендую по крайней мере задуматься по этому поводу.
Андрей, я возможно неверно выразился. Можно ведь сравнивать на качественном уровне (динамику): обновились хаи/лои или нет, выше/ниже недельной/месячной/квартальной/… средней. Друг с другом в лоб сравнивать глупо, согласен
Олег, по относительному сравнению друг с другом у меня никаких замечаний нет :)

Зато есть общественно-полезное замечание — добавлять в список тэгов слово «опционы», чтобы материал находился по соответствующей ссылке в правой части смарт-лаба :)
ch5oh, устойчивые распределения Леви имеют БЕСконечную дисперсию при всех alpha кроме «вырожденного» краевого случая alpha=2 (напомню, 0<alpha<=2), соответствующего обычному броуновскому движению. И случай alpha = 1 является в этом смысле типичным, а не каким-то особым.
Андрей Агапов, да. Признаю, был неправ. Прошу прощения.
avatar

ch5oh

добавил тэги, спасибо!
Олег, опечатка — после слова «опционы» стоит точка, а не запятая. В итоге тэг читается как
«опционы. historical volatility»
А смарт-лаб добавляет в раздел «Опционы» только то, что имеет точный тэг «опционы» — без дополнительных слов
поменял. мерси

Только зарегистрированные и авторизованные пользователи могут оставлять комментарии.

Залогиниться

Зарегистрироваться
....все тэги
Регистрация
UP