Алготорговля коинтегрированными активами. Часть 2

Начало здесь.

Задача оптимизации инвестиций

Целью трейдера при открытии позиций в активах является максимизация ожидания имеющихся ресурсов при постоянной ревизии этих позиций в течение времени, для того, чтобы обеспечить  динамическую оптимальность стратегии. Обозначим величину в денежном исчислении, инвестированную в безрисковый и рисковые активы . Тогда количество открытых трейдером контрактов будет равно . Опустим сложный вывод конечной формулы и представим окончательное решение в закрытой форме для доли инвестиций в активы:

где π∗- вектор оптимальных долей в используемых активах,

τ=T−t,

γ- мера риска (подбирается при тестировании).

Первое слагаемое в приведенной формуле является классической мертоновской задачей, при том, что (δα+ν)- дрифт цен активов. Второе слагаемое, пропорциональное а, представляет собой корректировку, связанную с коинтеграцией. Как показывает это выражение, преобразования в мертоновском портфеле уменьшаются при приближении конечного времени Т. В итоге, оптимальная стратегия зависит от α, в  общем случае оптимального инвестирования в несколько коинтегрированных активов.

Эмпирическая производительность стратегии

В этом разделе мы продемонстрируем поведение стратегии в случае использования трех активов. Агент торгует портфелем из трех акций — GOOGL, FB, AMAZON, и мы используем реальные данные с биржи Nasdaq для определения параметров модели. Конкретно, мы используем средние цены книги заявок с периодичностью в одну минуту от 3 ноября 2014 года, для определения параметров VAR(1) модели логарифма цен в соответствии с регрессией:

где Zn=log(Yn),ϵ1,ϵ2,...- независимые случайные переменные со стандартным нормальным распределением (с ковариационной матрицей Ω) и 3х1 вектор b, и 3х3 матрица С , установленные из множественной регрессии. Из ошибок регрессии затем составляется дисперсионно-ковариационная матрица для ϵ1. В таблицах ниже представлены результаты вычислений коэффициентов и дисперсионно-ковариационной матрицы.

На рисунке ниже показано значение коинтеграционного фактора αt из тренировочной выборки, представляющего собой, как и ожидалось, процесс возврата к среднему. Прерывистая линия на рисунке показывает уровень возврата к среднему, плюс/минус два стандартных отклонения от коинтеграционного фактора вокруг уровня возврата к среднему (линии с точкой). Понятно, что краткосрочные отклонения от этого уровня являются основной причиной прибыльности стратегии, которую мы обсудим ниже.

Далее, уменьшим размерность задачи до случая одного коинтеграционного фактора путем следующей последовательности трансформаций:

1. Определим — матрица возврата к среднему, где I- единичная матрица.

2. Определим — уровень возврата к среднему

3. Диагонализируем k путем разложения , где D — матрица собственных значений, сортированных от наибольшего к наименьшему,U — матрица собственных значений, составленных постолбцово.

4. Определим матрицу с уменьшенной размерностью , где.

5. Затем установим.

Результаты преобразований показаны в таблице ниже.

Отметим, что δ′a<0, значит процесс α, несомненно, процесс возврата к среднему.

Для иллюстрации производительности стратегии мы произвели 10 000 симуляций и записали профиль P&L в каждом случае. Мы использовали установленные выше параметры для симуляции компонента краткосрочной альфы и графика коинтеграционной цены (для каждой минуты внутри торгового горизонта) для Google, Facebook и Amazon. Для каждого прохода мы предполагали, что агент начинает с нулевыми открытыми позициями в активах и все позиции ликвидируются в конце дня, все транзакции происходят по средней цене книги заявок и нет транзакционных издержек. На графиках в заглавии поста показан один из симуляционных путей αt и соответствующие ему оптимальные позиции в активах. На графиках ниже изображен процесс изменения ресурсов агента для данного пути и гистограмма прибыли/убытков для 10 000 проходов. Среднее значение прибыли составляет 91,99 и стандартное отклонение прибыли 20,27.

Для данного конкретного прохода мы видим, что открытые позиции агента всегда находятся между 4 длинными и 6 короткими контрактами и прибыль в конце торгового периода составила приблизительно 80$. Открытые позиции активов демонстрируют паттерн, похожий на краткосрочную альфа прохода, оба показаны в заглавии поста. Помните, что αt включает дрифт каждого актива, так что во время, когда альфа выше уровня возврата к среднему соответствует моменту, где есть ожидание быстрого роста средних цен, то есть оптимальная стратегия — покупка актива.Соответственно, когда αt ниже уровня возрата к среднему — ожидание медленного роста цен (или даже их падения), где оптимально входить в короткие позиции по активам для получения краткосрочной прибыли от их снижения.

Заключение

Мы показали процесс оптимальной торговли набором коинтегрированных активов. Мы смоделировали структурную зависимость через общий компонент и дрифт приращений цен активов. Этот общий компонент является коинтеграционным фактором, который мы назвали краткосрочной альфа, и он является основным источником прибыльности в оптимальной инвестиционной стратегии.

Другие стратегии, алгоритмы и программы автоматического трейдинга смотрите на моем сайте — www.quantalgos.ru