<HELP> for explanation

Блог им. uralpro

Алготорговля коинтегрированными активами. Часть 2

alpha

Начало здесь.

Задача оптимизации инвестиций

Целью трейдера при открытии позиций в активах является максимизация ожидания имеющихся ресурсов при постоянной ревизии этих позиций в течение времени, для того, чтобы обеспечить  динамическую оптимальность стратегии. Обозначим \pi=(\pi_t^0,\pi_t^1,...,\pi_t^n)_{0\leq t\leq T}величину в денежном исчислении, инвестированную в безрисковый \pi_t^0и рисковые активы (\pi_t^1,...,\pi_t^n). Тогда количество открытых трейдером контрактов будет равно m_t^k=\frac{\pi_t^k}{Y_t^k}. Опустим сложный вывод конечной формулы и представим окончательное решение в закрытой форме для доли инвестиций в активы:

\pi^*=\frac{1}{\gamma}\{\mathbf{\Omega}^{-1}(\mathbf{\delta}\alpha+\mathbf{\nu})+(\mathbf{\delta}&#39;\mathbf{\Omega}\mathbf{\delta})[\frac{1}{2}\tau(\alpha-2\frac{\mathbf{\delta&#39;\Omega\nu}}{\mathbf{\delta&#39;\Omega\delta}})+\frac{1}{4}Tr(\mathbf{A\Omega})\tau^2]\mathbf{a}\}

где π∗- вектор оптимальных долей в используемых активах,

τ=T−t,

γ- мера риска (подбирается при тестировании).

Первое слагаемое в приведенной формуле является классической мертоновской задачей, при том, что (δα+ν)- дрифт цен активов. Второе слагаемое, пропорциональное а, представляет собой корректировку, связанную с коинтеграцией. Как показывает это выражение, преобразования в мертоновском портфеле уменьшаются при приближении конечного времени Т. В итоге, оптимальная стратегия зависит от α, в  общем случае оптимального инвестирования в несколько коинтегрированных активов.

Эмпирическая производительность стратегии

В этом разделе мы продемонстрируем поведение стратегии в случае использования трех активов. Агент торгует портфелем из трех акций — GOOGL, FB, AMAZON, и мы используем реальные данные с биржи Nasdaq для определения параметров модели. Конкретно, мы используем средние цены книги заявок с периодичностью в одну минуту от 3 ноября 2014 года, для определения параметров VAR(1) модели логарифма цен в соответствии с регрессией:

\mathbf{Z}_n=\mathbf{b}+\mathbf{CZ_{n-1}}+\epsilon_n

где Zn=log(Yn),ϵ1,ϵ2,...- независимые случайные переменные со стандартным нормальным распределением (с ковариационной матрицей Ω) и 3х1 вектор b, и 3х3 матрица С , установленные из множественной регрессииИз ошибок регрессии затем составляется дисперсионно-ковариационная матрица для ϵ1. В таблицах ниже представлены результаты вычислений коэффициентов и дисперсионно-ковариационной матрицы.

tables

На рисунке ниже показано значение коинтеграционного фактора αt из тренировочной выборки, представляющего собой, как и ожидалось, процесс возврата к среднему. Прерывистая линия на рисунке показывает уровень возврата к среднему, плюс/минус два стандартных отклонения от коинтеграционного фактора вокруг уровня возврата к среднему (линии с точкой). Понятно, что краткосрочные отклонения от этого уровня являются основной причиной прибыльности стратегии, которую мы обсудим ниже.

cointegr_1 

Далее, уменьшим размерность задачи до случая одного коинтеграционного фактора путем следующей последовательности трансформаций:

1. Определим \mathbf{k}=\mathbf{I}-\mathbf{C} — матрица возврата к среднему, где I- единичная матрица.

2. Определим\Theta=\mathbf{k}^{-1}\mathbf{b} — уровень возврата к среднему

3. Диагонализируем k путем разложения \mathbf{k}=\mathbf{UDU^{-1}}, где D — матрица собственных значений, сортированных от наибольшего к наименьшему,U — матрица собственных значений, составленных постолбцово.

4. Определим матрицу с уменьшенной размерностью \tilde{k}=\mathbf{U\tilde{D}U^{-1}}, где\mathbf{\tilde{D}}=(D_{11},0,0...,0).

5. Затем установимa_k=-\tilde{k}_{1k},\delta_k=\frac{\tilde{k}_{1k}}{\tilde{k}_{11}},\nu_k=(\tilde{k}\Theta)_k+\frac{1}{2}\Omega_{kk}.

Результаты преобразований показаны в таблице ниже.

table

Отметим, что δ′a<0, значит процесс α, несомненно, процесс возврата к среднему.

Для иллюстрации производительности стратегии мы произвели 10 000 симуляций и записали профиль P&L в каждом случае. Мы использовали установленные выше параметры для симуляции компонента краткосрочной альфы и графика коинтеграционной цены (для каждой минуты внутри торгового горизонта) для Google, Facebook и Amazon. Для каждого прохода мы предполагали, что агент начинает с нулевыми открытыми позициями в активах и все позиции ликвидируются в конце дня, все транзакции происходят по средней цене книги заявок и нет транзакционных издержек. На графиках в заглавии поста показан один из симуляционных путей αt и соответствующие ему оптимальные позиции в активах. На графиках ниже изображен процесс изменения ресурсов агента для данного пути и гистограмма прибыли/убытков для 10 000 проходов. Среднее значение прибыли составляет 91,99 и стандартное отклонение прибыли 20,27.

P&amp;L

Для данного конкретного прохода мы видим, что открытые позиции агента всегда находятся между 4 длинными и 6 короткими контрактами и прибыль в конце торгового периода составила приблизительно 80$. Открытые позиции активов демонстрируют паттерн, похожий на краткосрочную альфа прохода, оба показаны в заглавии поста. Помните, что αt включает дрифт каждого актива, так что во время, когда альфа выше уровня возврата к среднему соответствует моменту, где есть ожидание быстрого роста средних цен, то есть оптимальная стратегия — покупка актива.Соответственно, когда αt ниже уровня возрата к среднему — ожидание медленного роста цен (или даже их падения), где оптимально входить в короткие позиции по активам для получения краткосрочной прибыли от их снижения.

Заключение

Мы показали процесс оптимальной торговли набором коинтегрированных активов. Мы смоделировали структурную зависимость через общий компонент и дрифт приращений цен активов. Этот общий компонент является коинтеграционным фактором, который мы назвали краткосрочной альфа, и он является основным источником прибыльности в оптимальной инвестиционной стратегии.

Другие стратегии, алгоритмы и программы автоматического трейдинга смотрите на моем сайте — www.quantalgos.ru

 

Как же я люблю математику!
Очень познавательно.
avatar

habanera

емко четко и ясно! то что нужно смартлабу. правда щас про сиськи спросят
«Целью трейдера при открытии позиций в активах является максимизация ожидания имеющихся ресурсов при постоянной ревизии этих позиций в течение времени, для того, чтобы обеспечить динамическую оптимальность стратегии» ©

Говорите на человеческом языке, а не на птичьем (конечно, если хотите что бы вас поняли). И вообще, будьте проще, и народ к вам потянется.

А про цели трейдера при открытии позиции можно сказать без всяких «пи»: цель срубить деньжат за счёт других участников торгов.

Правда бывают ещё цели «впарить» обучение, бота, сигналы и прочий шлак.
мне кажется, стоило дать выводы и ссылку на полную статью.
1. Вопрос к коинтеграции. А зачем совместная регрессия? есть ли преимущество по отношению к отдельным регрессиям? есть ли преимущество по отношению к регрессии на себя и на индекс?
2. Из поста я не понял, как из альфы, веги и дельты получить цены акций.
avatar

broker25

broker25, )))) Не умничай! Не хочешь покупать бота — отойди в сторонку, дай другим товар пошупать.

Товарищ uralpro, мне два заверните на вынос!
broker25, ссылка на статью есть в первой части публикации.
2. В общем-то вся статья и есть о преимуществе совместной регрессии. Суть в выделении общего компонента, который отражает совместную коинтеграцию активов на основе общего фактора. Понятно, что в отдельных регрессиях этот компонент будет смешан с другими факторами, которые присущи только двум взятым активам.
3. А зачем вам цены? Вы же торгуете спред, вам нужно только знать коэффициенты для каждого актива, которые вы легко вычислите из первого уравнения
какой компонент отвечает за подстройку под рынок? есть вектор оптимальных компонент, но это же подстройка под то, что уже было. как подстроиться под то, что возможно будет?
avatar

Brad Tick

Джонни Фунт, альфа — это и есть общий коинтеграционный компонент. Он обеспечивает длительный эффект возврата к среднему. Но в любом случае необходим динамический пересчет с периодом Т
В диагональном разложении
U — матрица не из собственных значений, а из собственных векторов. Но есть непонятка, Вы рассуждаете так, словно С — самосопряженная матрица. А это не так.
avatar

SergeyJu

SergeyJu, насчет U вы правы, а из чего следует, что С — самосопряженная? Я, конечно, не эксперт в матричном исчислении, но тут даже близко не появляются комплексные числа. С — это просто матрица коэффициентов регрессии
uralpro, из Вашей таблички.
Если там попарные коэфф. ковариации, то должна быть симметричной, конечно. Но в табличке омега симметричная, а С — нет.
SergeyJu, С — это не коэффициенты ковариации, а коэффициенты регрессии ( отношения цен). Коэффициенты ковариации — это омега, эта матрица ковариаций остатков регрессии.
uralpro, Вы разлагаете I-C=k. Поскольку С несимметрична, k тоже несимметрична. В этой ситуации собственные числа не обязаны быть положительными и даже не обязаны быть вещественными.
Или что-то я неправильно понимаю.
ну а что если ситуация выходит за два отклонения? Вот так бац, и здрасьте, например, 5 отклонений. И среднее сразу поменяется и весь преасимтотический процесс пойдет по другому пути, уже без этого алгоритма на рынке, м?
avatar

Pereira

Pereira, по идее, если у вас процесс выходит за 5 отклонений, он уже не является стационарным, и нужен пересчет. Динамический пересчет в парном трейдинге есть всегда, просто хорошая модель увеличивает период таких пересчетов — а за это время вы соберете несколько отклонений спреда
uralpro, то есть критерий разладки — стоп-лосс?
SergeyJu, наверное да, если вам не удалось получить устойчивый стационарный процесс
нене, в динамике процесс уже не стоит пересчитывать
это уже постфактум-оптимизация, т.е. подгон под случившееся событие, а это лишено всякого смысла
так, пощекотать самолюбие красивой картинкой «как могло бы быть» )))

Еще раз перечитал и понял, что в первый раз подкорочно осталось:
"γ- мера риска (подбирается при тестировании)". То есть имеете волатильность бумажки, определяете меру риска ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ТЕСТИРОВАНИЯ, а затем меру риска при котором пОртфель показывает плюс подставляете для будущих сделок.

Ребята, которые получили Нобеля за оценку портфелей, слились в один момент. Их просто не стало. И, да, они тоже считали меру риска и собственный слив оценивали как 1 раз в 10.000 лет. И вот надо ж, случилось прям сразу! ))))
avatar

Pereira


Только зарегистрированные и авторизованные пользователи могут оставлять комментарии.

Залогиниться

Зарегистрироваться
....все тэги
Регистрация
UP