<HELP> for explanation

Блог им. broker25

Heston, Lognormal, Lewis, SABR and CEV

Какая модель движения цены позволяет построить улыбку, наиболее близкую к рыночной?
Рассмотрим простой подход к выбору наилучшего метода.
 
Определение моделей
 
Для начала определим модели рынка.
 
a) Heston, Lognormal и Lewis.
В общем виде модель выглядит так.
 Heston, Lognormal, Lewis, SABR and CEV
При λ = 0.5 получаем метод Хестона,
λ = 1 соответствует методу Lognormal,
λ = 1.5 соответствует методу Lewis’s 3/2.
Принимаем тренд равным нулю: μ = 0.
 
Неизвестные параметры:
θ — средняя долгосрочная волатильность;
η — vol of vol;
k > 0 -  скорость сходимости текущей волатильности к средней;
ρ — коэффициент корреляции волатильности и БА;
 
б) Модель SABR
 
Heston, Lognormal, Lewis, SABR and CEV 

Неизвестные параметры:
0 ≤ β ≤ 1 ;
η ≥ 0  — vol of vol;
ρ — коэффициент корреляции волатильности и БА.
 
в) Модель CEV
Heston, Lognormal, Lewis, SABR and CEV
Неизвестен неотрицательный параметр β.
В этой модели нет стохастической волатильности.
Принимаем тренд равным нулю: μ = 0.
 
г) Naïve. Добавим для сравнения простой «наивный» способ прогноза  с фиксированной улыбкой на 1 день. 
Волатильность каждого страйка предполагается равной волатильности того же страйка в предыдущий  день.
 
Подбор параметров и прогноз 

Оптимальные параметры модели находятся минимизацией функционала ошибки. 
Разница рыночных и модельных цен опционов суммируется и дает функционал, который масштабируется для удобства восприятия.
Цены опционов для каждого набора параметров вычисляются по Монте-Карло.
Частные производные для градиентного спуска также вычисляются методом Монте-Карло.
Как ни странно, производные получаются достаточно стабильные.
Оптимальный набор параметров также стабилен для фиксированной даты, хотя отличается для разных дат.
 
В качестве входных данных для калибровки параметров берутся цены опционов на фьючерс РТС на закрытие рынка в течение 10 последовательных дней.
Проверка проводится на последующих 10 торговых днях.
Рассмотрено семь близких пересекающихся периодов для калибровки и семь периодов для проверки.
Все дни находятся в интервале от  17/09/10 до  01/11/10.  Дата экспирации – 15/12/10.
Период до экспирации нельзя назвать коротким, что исключает искажения, связанные именно с близкими сроками.

Для прогноза улыбки на текущий день используется:
— оптимальные параметры,
— текущая цена фьючерса,
— волатильность центрального страйка на предыдущий день.
 
Сравнение моделей
 

В таблице ниже указана ошибка прогноза представленных моделей.

Heston, Lognormal, Lewis, SABR and CEV


Как мы видим, в целом ни одна из моделей не превзошла простой наивный рыночный прогноз.
Метод SABR обогнал прочие модели рынка, и местами наивный прогноз. Heston показал близкие результаты. Остальные модели сильно отстали.
 
Посмотрим теперь на качество подгонки: какой метод дает минимальную погрешность своем оптимальном наборе параметров. Иначе говоря, какой способ позволяет нарисовать улыбку формы, наиболее близкой к рыночной. В табличке ниже указана минимальная ошибка во время обучения.

Heston, Lognormal, Lewis, SABR and CEV


Мы видим, что и здесь SABR и Heston значительно опережают прочие модели.
  
Комментарии к расчетам
 
1. Данные выкладки не следует воспринимать как точный рэнкинг моделей. Здесь лишь предложен способ подобных расчетов. Тем не менее, значительное преимущество SABR и Heston говорит о смысле дальнейшей проработки именно этих методов.
 
2. Модели оказались в целом хуже простого наивного прогноза. 
Это не говорит, однако, об их бесполезности. Есть много способов улучшения прогноза. Например:
— Взять другие моменты времени для калибровки;
— Увеличить или уменьшить число этих моментов;
— Изменить критерий и присваивать различным страйкам неодинаковые веса в функционале ошибки;
— Ввести в модель прыжки (jumps).
 
3. Метод Хестона дает коэффициент корреляции волатильности и БА от -0,7 до -0,5. В реальности, по моим расчетам он находится в пределах (-0,3  ;  — 0,1). Замечу, что считать корреляцию нужно правильно: не по индексу волатильности, этот способ искажает ответ. Завышенный коэффициент корреляции говорит от том, что, возможно, модель не слишком реалистично передает динамику рынка, хотя и позволяет построить улыбку, похожую к рыночной. Можно задать границы для коэффициента, но это ухудшит качество подгонки. 

4. Поиск оптимального решения по методу SABR занимает наибольшее время, и его приходится прекращать ограничением числа итераций. Очевидно, так происходит оттого, что параметр beta стремится к своему оптимуму — единице — и не может его достичь. В дальнейшем, в методе SABR я буду предполагать, что beta фиксирована и равна единице.

5. Ошибка методов Lognormal, Lewis и CEV на интервале проверки ниже, чем на интервале калибровки. Я связываю это с большей подвижностью улыбки на интервале калибровки.

Вывод: 
Исследовано качество прогноза моделей Heston, Lognormal, Lewis, SABR и CEV для опционов на фьючерс РТС на заданном отрезке времени. Лучший результат показала модель SABR. Модель Heston показала близкие результаты. Остальные методы оказались намного хуже. Тем не менее, ни одна из моделей не превзошла простого наивного рыночного прогноза.
 
 
 

Здорово, спасибо.

А не пробовали наивную локальную модель2, дрейфующую от S (можно еще и от T).
то есть взяли стартовую улыбку и от изменения S (Ln) ее симметричные сдвиги, лучше будет чем совсем наивная?
avatar

AlexeyT

AlexeyT, не согласен, что sticky delta лучше. Я об этом писал в статье «Выбор дельты для дельта-хеджа». По T простой модели у меня нет. Есть сложная, которой недоволен. Да и до экспирации далеко, так что время особого значения не имеет.
broker25, а я и не утверждаю что лучше, я спрашиваю
broker25, там горизонтальный перенос,
а не делали, где улыбка смещается sigma=f(deltaS),
где f — какая то простая функция-регрессия
AlexeyT, Именно так и сделал в той же статье в строчке Regr. Особой разницы нет, но чем дальше от центра, тем лучше работает регрессия.
broker25, аа, просто на мой взгляд, идеально было бы в рамках этих исследований (чтобы сопоставимы ошибки (цифры) были, а то там дельты, здесь улыбки) дополнить, примитивными лок.вол моделями (даже без времени), например такими
1. горизонтальный сдвиг (но это просто, симметрично от изменения БА)
2. простой симметричный вертикальный сдвиг (взять простейшую регрессию от истории ВЦС)
3. диагональный сдвиг (взять простейшую регрессию сигмы от истории ВЦС) и перейти в относительную шкалу
4. скользящим окном определять HV, передавать ее как параметр в улыбку — ВЦС, и смещать улыбку) тоже в относительной шкале
AlexeyT, мне кажется, что это все — не модели лок. вол. Это модели движения улыбки. Думаю, что если есть 3, то 1 и 2 не нужно. Насчет 4 согласен, но надоело мне возиться со страйками, думаю есть смысл строить модель улыбки и для нее все считать. Что касается лок. вол., то была идея запрограммировать Дермана, но неясно, как его изменить, чтобы что-то разумное получилось
broker25, почему нет?
согласно определению — лок.вол это sigma=f(S,T), раз мы знаем какую то новую волу, то логично что надо что-то делать с улыбкой, которая на нее завязана — двигать, а как? ну 3 способами, верт, гор, диаг.
за этим политическим срачем, чуть не пропустил Вашу статью(.
Спасибо+ в проф.
avatar

SMA

не совсем понятно что понимается под прогнозом
avatar

Mr. Bean

Mr. Bean, сегодня на закрытие я беру цену фьюча на закрытие, вчерашнюю волу центрального страйка и рисую модельную улыбку. Это и есть прогноз. Он сравнивается с рыночной улыбкой.
broker25, IV по сути своей является прогнозом и мне всегда казалось странным прогнозировать прогноз
Mr. Bean, ну да, я тоже думаю, что айви — это по сути прогноз на несколько секунд вперед. Модель же по идее должна давать прогноз, к которому будет идти рынок например через несколько часов или на след. день
broker25, и ещё по поводу получения оптимальных параметров путём минимизации ошибки. мне кажется к временным рядам это не применимо, всё таки тут максимизируется вероятность получить выборку, представленную историческими данными. хз, понятно ли я выразился…
Mr. Bean, вероятность получить выборку, представленную историческими данными равна нулю, тк в данных есть шум, а количество параметров модели невелико и ограничено. Если в модели прямо задать, что в ценах опционов есть случайный шум, что максимизация вероятности будет соответствовать минимальной ошибке, также как (насколько помню)решение МНК соответствует решению по методу макс.правдоподобия
Хестон хорошо показывает себя на валютных рынках.
Насчет остального — согласен, буквально недавно проводил схожее исследование.
avatar

Илья К


Только зарегистрированные и авторизованные пользователи могут оставлять комментарии.

Залогиниться

Зарегистрироваться
....все тэги
Регистрация
UP