Список проголосовавших за комментарий " <p><em>15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:<br/> — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;<br/> — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;<br/> — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;<br/> — к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.<br/> Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей?</em></p><p>Прежде всего, введем переменные. Расчеты будем вести в тысячах рублей.</p><p>Пусть S – сумма, которую планируется взять в кредит,</p><p>Z – общая сумма выплат, Z = 1604 (тыс. рублей).</p><p>Х — ежемесячное уменьшение суммы долга, Х = 30 (тысяч рублей),</p><p>p=3% — процент, начисляемый банком ежемесячно. После первого начисления процентов сумма долга равна<img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=S%5Ccdot%20%281%2B%20%5Cfrac%7Bp%7D%7B100%7D%29%20%3D%20S%5Ccdot%20k.&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1" alt="S\cdot (1+ \frac{p}{100}) = S\cdot k." title="S\cdot (1+ \frac{p}{100}) = S\cdot k."/> После каждого начисления процентов сумма долга увеличивается в <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=k%20%3D%201%2B%20%5Cfrac%7Bp%7D%7B100%7D%20&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1" alt="k = 1+ \frac{p}{100}" title="k = 1+ \frac{p}{100}"/> раза. В нашей задаче k = 1,03.</p><p>Определим, к какому типу относится задача. Долг уменьшается равномерно (по условию, <em>15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца</em>). Значит, это задача второго типа. А в задачах второго типа мы рисуем следующую схему:</p><p><img src="https://ege-study.ru/wp-content/uploads/2018/06/01.jpg" width="893" height="138"/></p><p>После первого начисления процентов сумма долга равна kS. Затем, после первой выплаты, сумма долга равна S – X, где Х = 30 (тысяч рублей).</p><p>Значит, первая выплата равна kS – (S – X) (смотри схему).</p><p>Вторая выплата: k (S – X ) – ( S – 2X).<br/> …</p><p>Последняя выплата: k ( S – 20 X).</p><p>Найдем общую сумму выплат Z.<br/> Z = kS – (S – X) + k (S – X ) – ( S – 2X) + … + k ( S – 20X) =<br/> = k ( S + S – X + S – 2X + … + S – 20 X) – ( S – X + S – 2X + … + S – 20X).</p><p>Мы сгруппировали слагаемые, содержащие множитель k, и те, в которых нет k.</p><p>Упростим выражения в скобках:<br/> k (21S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) – (20S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) = Z.</p><p>В задачах этого типа (когда сумма долга уменьшается равномерно) применяется формула для суммы арифметической прогрессии: <img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=S_n%3D%5Cfrac%7B%28a_1%2Ba_n%29%7D%7B2%7D%5Ccdot%20n.%20&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1" alt="S_n=\frac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n." title="S_n=\frac{(a_1+a_n)}{2}\cdot n."/></p><p>В этой задаче мы тоже ее используем.</p><p><img src="http://l.wordpress.com/latex.php?latex=1%20%2B%202%20%2B%203%2B%20...%20%2B%2020%20%3D%20%5Cfrac%7B1%2B20%7D%7B2%7D%5Ccdot%2020%20%3D%20210.%20&bg=FFFFFF&fg=000000&s=1" alt="1 + 2 + 3+ ... + 20 = \frac{1+20}{2}\cdot 20 = 210." title="1 + 2 + 3+ ... + 20 = \frac{1+20}{2}\cdot 20 = 210."/></p><p>Получим:</p><p>k (21 S – 210X ) – 20 S + 210 k = S (21k – 20) – 210 X (k-1) = Z.</p><p>Осталось подставить числовые значения.</p><p>S ( 21⋅ 1,03 – 20) – 210 ⋅ 30 ⋅ 0,03 = 1604.</p><p>Отсюда S = 1100 тысяч рублей = 1 100 000 рублей.</p>"