Список проголосовавших за комментарий "Подытожим.<br/> 1. Историческое распределение само по себе не дает необходимой кривизны улыбки, поскольку не учитывает кластеризацию (память) волатильности.<br/> 2. Модель Хестона в силу гауссовости приращений (как базового актива, так и волатильности) тоже не может дать достаточной кривизны улыбки.<br/> <br/> Как с этим жить? Ну, ответ, очевиден — надо предполагать негуссовость в приращениях самого процесса и/или негауссовость в приращениях волатильности. Причем негауссовость должна быть не абы какая, а в сторону тяжелых хвостов, иначе по ЦПТ все равно будем упираться в гауссовость на старших таймфреймах.<br/> <br/> В приниципе, то, что сделано вами с гэпами — это как раз шаг в этом направлении, но уж больно топорный и, очевидно, не соответствующий происходящему на реальном рынке.<br/> <br/> Как сделать то же самое, но изящнее? <br/> <br/> Я лично люблю (хотя и никому не навязываю) устойчивые процессы Леви. Правда, отсутствие дисперсии делает работу ними несколько запутанной, но там есть масштабный параметр, который эту самую дисперсию до определенной степени заменяет. <br/> <br/> К тому же хвосты можно «подавить» (не «обрезать», а именно подавить" — см. стр 11 в первой из статей ниже), что даст конечность дисперсии с одной стороны, и проявление свойств тяжелых хвостов на не слишком больших масштабах — с другой.<br/> <br/> Вот работа, в которой описывается мат.аппарат и даже выводится формула прайсинга для опционов: <br/> Cartea, Howison — 2003 — Distinguished Limits of Levy-Stable Processes…<br/> Это даст улыбку, которая, имея 4 параметра, сможет описать большинство рыночных улыбок. При этом даже безо всякой стохастической волатильности — только за счет асимметрии и скачков. Явные формулы для прайсинга — 35 и 37 на стр 26 (правда, комплексный интеграл придется посчитать).<br/> <br/> А вот в этой работе к тому, что выше, даже прибавляется стохастическая волатильность. Правда, изящно (как у Хестона) это сделать не удалось. Поэтому формула в явном виде не получилась, так что с этой статьей я особо не разбирался, честно говоря:<br/> Cartea, Howison -2006 — Option Pricing with Levy-Stable Processes…<br/> <br/> Тем не менее, это направление для движения. Причем, на мой вкус, потенциально одно из самых правильных (в смысле соответствия предполагаемых моделей реальной динамике активов).<br/> <br/> Наконец, если вам нравится генерировать и хочется напрямую убедиться, что устойчивые распределения Леви дают качественную улыбку даже при постоянной sigma, — дарю проверенный код для генерации (обычных распределений, не подавленных, так как для подавленных быстрого генератора не нашел).<br/> <br/> Описание: sigma — масштабный параметр, аналог волатильности (хотя и не прямой).<br/> alpha — индекс устойчивости. 0<alpha<=2. alpha = 2 соответствует гауссовскому, единственный вариант с легкими хвостами. alpha = 1 — это Коши, то есть, распределение не только без дисперсии, но и без матожидания. Т.о. для финансовых целей надо брать 1<alpha<2<br/> beta — параметр скошенности. Не дает эффекта при alpha =2 и alpha = 1. Во всех остальных случаях «перекашивает» распределение в одну из сторон.<br/> <br/> unirand() — вызов генератора случайного равномерно распределенного числа из интервала (0;1)<br/> <br/> double gen_LevyStable(double alpha, double sigma, double beta) <br/> {<br/> //On article Rafal Weron «On Chambers-Mallows-Stuck Method...», page 8, and its latter correction by Rafal Weron for alpha=1<br/> static double PI_TO_2=Pi/2.0;<br/> static double V;<br/> static double W;<br/> static double B;<br/> static double S; <br/> static double tang;<br/> <br/> if (sigma<=1e-10) return 0;<br/> if (alpha<=1e-8) return 0;<br/> <br/> V=Pi*(unirand()-0.5);<br/> W=gen_expon(1.0);<br/> if(abs(alpha-1.0)>1e-8)<br/> {<br/> tang=tan(Pi*alpha/2.0);<br/> B=atan(beta*tang)/alpha;<br/> S=pow(1+beta*beta*tang*tang, 1.0/(2.0*alpha) );<br/> return sigma*S* sin(alpha*(V+B))/pow(cos(V),1/alpha) * pow( cos(V-alpha*(V+B))/W, (1.0-alpha)/alpha); <br/> }<br/> else<br/> {<br/> return sigma*2.0/Pi* ( (PI_TO_2+beta*V)*tan(B) — beta*log( (PI_TO_2*W*cos(V))/(PI_TO_2+beta*V) ) );<br/> }<br/> }<br/> <br/> inline double inv_expon(double u, double a)<br/> {<br/> u=max(u, 1E-50);<br/> u=min(u, 1-1E-50);<br/> <br/> return(-log(1-u)/a);<br/> }<br/> <br/> double gen_expon(double a)<br/> {<br/> return inv