Список проголосовавших за комментарий "SineeMore, В качестве алаверды — немного рассуждений от Атамана.<br/> <strong><em>Про бифуркацию и возможность ее рассчитать заранее:</em></strong><br/> <span>Термин бифуркация (букв. раздвоение) употребляется для обозначения качественной перестройки, изменения той или иной картины ѕ в нашем случае фазового портрета обыкновенного дифференциального уравнения при изменении входящего в это уравнение параметра. Простейшим примером может служить, например, изменение фазового портрета системы. </span><p>При прохождении параметра e через 0: при e < 0 фазовый портрет представляет собой узел, а при e > 0 ѕ седло.<br/> Из всего необъятного множества различных бифуркаций мы опишем лишь несколько простейших типов. Поскольку теория бифуркации требует довольно развитой техники, мы как правило не описываем даже идей доказательств. <br/> Начнем с описания локальных бифуркаций состояния равновесия динамической системы. Мы будем рассматривать автономную системы обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром вида <br/> xў = f(x, e), (1) <br/> предполагая, что f: Rn, R ® Rn ѕ непрерывно дифференцируемая функция. Допустим, что уравнение (1) при e = 0 имеет стационарную точку x0: f(x0,0) = 0. Будем говорить, что точка e = 0 является точкой локальной бифуркации динамической системы (1) со стационарной точкой x0, если найдутся сколь угодно малые значения e, при которых динамическая система (1) в окрестности точки x0 не является локально топологически эквивалентной системе, отвечающей нулевому значению параметра.<br/> Допустим, что у матрицы [(f(x, e))/(x)]|(x, e) = (x0,0) нет собственных значений на мнимой оси. Тогда, в частности, в силу теоремы о неявной функции уравнение <br/> f(x, e) = 0 (2) <br/> локально однозначно определяет x через e, т. е. в малой окрестности точки x0 для любого достаточно малого e найдется единственное решение xe уравнения (2), или, что то же, стационарная точка уравнения (1). Кроме того, поскольку решение xe и матрица A(e) = [(f(x, e))/(x)]|(x, e) = (x0,0), а следовательно и ее собственные значения, непрерывно зависят от e, при малых e числа n-[A(e)] собственных значений этой матрицы с отрицательной вещественной частью и число n+[A(e)] собственных значений этой матрицы с положительной вещественной частью не зависят от e. <br/> Поэтому из теоремы Гробмана ѕ Хартмана и теоремы о топологической эквивалентности линейных систем вытекает, что при малых e все динамические системы (1) в окрестности своих стационарных точек xe локально топологически эквивалентны, и следовательно, e = 0 не является точкой бифуркации. <br/> Таким образом, чтобы точка e = 0 была точкой локальной бифуркации динамической системы (1) со стационарной точкой x0 необходимо, чтобы матрица A(0) имела хотя бы одно собственное значение на мнимой оси. <br/> Мы рассмотрим только два случая выполнения этого условия: когда A(0) имеет простое нулевое собственное значение и когда A(0) имеет пару простых комплексно сопряженных мнимых собственных значений. <br/> Для иллюстрации первого случая рассмотрим одномерную динамическую систему <br/> xў = -x2+e (3) <br/> При e < 0 эта система очевидно не имеет стационарных точек. При e = 0 происходит рождение полуустойчивой стационарной точки, которая при e > 0 превращается в две ѕ устойчивую и неустойчивую. Эта бифуркация в некотором смысле типична. В многомерном случае соответствующая типичная бифуркация, отвечающая наличию у матрицы A(0) нулевого собственного значения, получается как результат приписывания к уравнению (3) гиперболической системы (рис. 3). <br/> Литература:<br/> Систематическое описание бифуркаций двумерных динамических систем Современное изложение результатов и методов можно найти в [Арнольд, Итоги науки и техники..., Марсден ѕ Мак-Кракен]. <br/> Применение теории индекса к исследованию бифуркаций описано в [ Красносельский, Красносельский ѕ Забрейко]. <br/> <strong><em>И еще про тренды от него же:</em></strong><br/> Есть (как реальность) тренды. НО невозможно рассчитать, какая именно точка - есть начало/конец тренда. <br/> Но из того, что это нельзя рассчитать НЕ следует, что трендов нет. <br/> Из этого следует только то, что этого НЕВОЗМОЖНО рассчитать, то бишь нельзя заработать денег на таких расчетах. При бэк-тестинге, используя оптимизацию (читай: подгон результатов), можно, но с реальной правой стенкой — нет. <br/> ПОЭТОМУ, когда ваша «система» будет делать поправку на тренд — тренд, может быть, уже поменялся... <br/> <span>НЕВОЗМОЖНО рассчитать точку разворота тренда. </span><span>Это — математически неразрешимая задача.</span></p>"