Список проголосовавших за комментарий "Давайте попробуем решить эту задачу без фразы «затем используется формула» <br/> <br/> Можно записать рекуррентное соотношение для величины капитала Xₖ после k-ой попытки: Xₖ = RₖXₖ-₁ = RₖRₖ-₁..R₁X₀, где Rₖ — случайная величина прироста капитала. Все попытки независимы, Rₖ одинаково распределены. <br/> Если мы прологарифмируем это соотношение, получим <br/> ln(Xₖ /X₀)¹/ᵏ = (Σln Rᵢ) /k. Если k велико, то можно воспользоваться законом больших чисел, тогда правая часть будет стремиться к матожиданию E[ln(R₁)]; мы обозначим его μ. Нестрого можно записать, что при больших k: Xₖ → X₀ exp(kμ). А значит, наша цель — максимизировать это μ.<br/> <br/> Пусть x — часть инвестируемого капитала при однократной ставке. Если игрок выигрывает раунд, его капитал вырастет в (1 — x + 2x) = (1+x) раз. Если проигрывает, капитал уменьшится в (1-x) раза. Игрок может выиграть раунд с вероятностью p (в нашем случае p = 0.6)<br/> <br/> Тогда μ = p∙ln(1+x) +(1-p)∙ln(1-x) <br/> <br/> Оно достигает максимального значения при x = 2∙p — 1<br/> <br/> Понятно, что p >1/2, иначе x должна быть равна 0, т.е при p≤ 1/2 нельзя участвовать в игре)<br/> <br/> Таким образом, если игрок максимизирует ожидаемую полезность E[U], а сама функция полезности является логарифмической U = ln(X), где X — размер капитала, он должен в каждом раунде ставить x = 2∙p