Зачем нужен логарифм цены? Логарифм цены позволяет уйти от искажений, связанных с абсолютными значениями цены и перейти к относительной оценке. Это имеет значение в инвестициях и
трейдинге, поскольку для инвестора имеет значение не столько, сколько стоит
акция $10 или $100, сколько относительное изменение цены за интервал
времени[1].
На
логарифмическом графике цены при изменении цены в большом диапазоне, например от $1 до $1000,
равную высоту будут иметь свечи с одинаковым процентным изменением, а не с одинаковым изменением в долларах.
Инвесторов должны беспокоить прежде всего логарифмы цен, потому что они лучше отражают то, как инвесторы воспринимают свои прибыли и убытки. Тезис об этом впервые сформулировал Маури Осборн в 1959 году.
Простое объяснение: «смысл логарифма — что люди мыслят в терминологии «выросло в два раза», и не важно от каких уровней. Чтобы уровнять рост в два раза от разных уровней и используют логарифм» [
2]
Логарифмированные ценовые ряды удобно использовать из-за известного свойства log(b)-log(a)=log(b/a), то есть разница логарифмов двух цен a и b = логарифму относительного приращения b/a, то есть логарифму доходности. Таким образом если взять логарифмы цен и потом каждый предыдущий член ряда вычесть из последующего, то получатся логарифмы доходности. Это удобно чисто практически[
3].
Логарифм цены обладает чудесным свойством: разница между Log(10) и Log(11) равна разнице между (Log100)-Log(110).
Так и доходность акции которая поднимается с 10 до 11 эквивалентна доходности акции которая выросла со 100 до 110.
Кроме того, логарифмы цен берут по следующим причинам:
- математически логарифмирование заменяет умножение сложением. С точки зрения теории случайных процессов, логарифмы приращений цен Гауссовы, а Гауссова случайная величина более проста и исследована. Таким образом, происходит упрощение
- с помощью логарифма можно суммировать доходности за разные промежутки времени (например для fixed income инструментов). Доходности удобно складывать с помощью логарифма т.к. сумма двух одинаковых по основанию логарифмов равна логарифму произведения
Почему логарифм приращения цен используется в статистических исследованиях вместо обычного относительного приращения цен?
Приращение цены в процентах обычно считается как (P2-P1)/P1, однако, данный способ имеет недостаток, т.е. если цена уменьшилась на 5%, а затем увеличилась на 5% мы не получим первоначальное значение. Логарифмическая доходность не имеет этого недостатка, при этом если взять первый член ряда Маклорена от функции Ln(Р2/Р1), будем иметь Р2/Р1 — 1, т.е. тоже самое, что и обычная доходность и при малых изменениях это будет одно и тоже.[
4]
[1] Джеймс Уэзеролл «Физика
фондового рынка»
[2]
комментарий
[3]
http://smart-lab.ru/blog/197223.php#comment2905188
[4]
http://smart-lab.ru/blog/197223.php#comment2905232
