Блог им. elogunov

Декомпозиция прибыли и убытков по опционам

Декомпозиция прибыли и убытков по опционам

В этой статье я продемонстрирую простой подход, который позволяет понять, сколько было заработано (или не совсем заработано) по опциону на изменении цены базового актива / изменении волатильности / изменении безрисковой ставки / временном распаде / непонятно на чём.

Исходные данные

Для упрощения, я буду работать в рамках модели Блэка-Шоулза (случай для опционов на акции, не выплачивающих дивиденды), предпосылки которой будут чуть ослаблены путём отказа от условия постоянства волатильности. Подразумеваемую волатильность возьмем из фактических цен опционов. Подход будет разобран для одного шага. И, как обычно, я приведу пример на языке программирования R.

Итак, нам понадобятся:
1. История цены базового актива — Декомпозиция прибыли и убытков по опционам ;
2. История цены опциона (опционов) — Декомпозиция прибыли и убытков по опционам;
3. История безрисковой ставки — Декомпозиция прибыли и убытков по опционам;
4. Спецификация опционов (а именно — контрактный множитель Декомпозиция прибыли и убытков по опционам и дата экспирации Декомпозиция прибыли и убытков по опционам);
5. История позиций (кол-во контрактов Декомпозиция прибыли и убытков по опционам); для упрощения примем, что при изменении позиции Декомпозиция прибыли и убытков по опционам сделки проходят по ценам Декомпозиция прибыли и убытков по опционам, т.к. анализ транзакционных издержек в данный момент нас не интересует.

Разобьём время Декомпозиция прибыли и убытков по опционам на промежутки Декомпозиция прибыли и убытков по опционам, внутри которых позиция Декомпозиция прибыли и убытков по опционам остается постоянной. Например, можно нарезать данные на дневной/часовой/минутной сетке. Желательно, чтобы сетка была регулярной, т.е. если ваша стратегия торгует в конце каждого часа, но за некоторый час сделок не было — в конце часа всё равно есть смысл добавить отсчет. Хотя из-за перерывов между торговыми сессиями и выходных полностью регулярной сетки всё равно не получится.

Декомпозиция прибыли и убытков на одном временном промежутке

Декомпозиция прибыли и убытков по опционам
Рассмотрим промежуток Декомпозиция прибыли и убытков по опционам:
1. Известна цена базового актива в начале Декомпозиция прибыли и убытков по опционам и в конце Декомпозиция прибыли и убытков по опционам промежутка;
2. Известна цена опциона в начале Декомпозиция прибыли и убытков по опционам и в конце Декомпозиция прибыли и убытков по опционам промежутка;
3. Известна безрисковая ставка в начале Декомпозиция прибыли и убытков по опционам и в конце Декомпозиция прибыли и убытков по опционам промежутка;
4. Известна позиция в начале промежутка Декомпозиция прибыли и убытков по опционам.

Вычислим подразумеваемые волатильности из цен опциона в начале Декомпозиция прибыли и убытков по опционам и в конце Декомпозиция прибыли и убытков по опционам временного промежутка.

Сосчитаем «греки» в начале промежутка:
1. Дельту — чувствительность цены опциона к изменению цены базового актива: Декомпозиция прибыли и убытков по опционам;
2. Гамму — чувствительность дельты опциона к изменению цены базового актива: Декомпозиция прибыли и убытков по опционам;
3. Тэту — чувствительность цены опциона к изменению времени до экспирации: Декомпозиция прибыли и убытков по опционам;
4. Вегу — чувствительность цены опциона к изменению волатильности: Декомпозиция прибыли и убытков по опционам;
5. Ро — чувствительность цены опциона к изменению безрисковой ставки: Декомпозиция прибыли и убытков по опционам.

Формулы, по которым вычисляются «греки» можно посмотреть в википедии или в любой книге по опционам на ваш вкус. Не забывайте про масштабирующие множители. Если вы приводите тэту к дневному масштабу — вы должны использовать тот же самый масштаб времени до экспирации (измерять его в днях).

Введём обозначения:
1. Изменение цены базового актива на этом промежутке: Декомпозиция прибыли и убытков по опционам;
2. Изменение времени: Декомпозиция прибыли и убытков по опционам;
3. Изменение подразумеваемой волатильности опциона: Декомпозиция прибыли и убытков по опционам;
4. Изменение безрисковой ставки: Декомпозиция прибыли и убытков по опционам.

Точный PnL по опциону на этом промежутке равен: Декомпозиция прибыли и убытков по опционам. PnL за некоторый временной период определяется как сумма PnL на входящих в него промежутках.

Прежде чем двигаться дальше — разберёмся с основной идеей рассматриваемой декомпозиции PnL:
1. При помощи греков можно аппроксимировать изменение цены опциона в зависимости от изменения цены базового актива, волатильности и т.д.
2. Для этого нам понадобится разложить цену опциона в ряд Тейлора в окрестности точки Декомпозиция прибыли и убытков по опционам; если вы поняли о чём я — можете переходить к следующей части;
3. Коэффициентами этого ряда являются «греки», которые мы сосчитали ранее;
4. Примеры (см. иллюстрацию ниже):
4.1. Линейная (delta) аппроксимация цены опциона при изменении цены базового актива: Декомпозиция прибыли и убытков по опционам;
4.2. Квадратичная (delta-gamma) аппроксимация цены опциона при изменении цены базового актива: Декомпозиция прибыли и убытков по опционам.
Декомпозиция прибыли и убытков по опционам
Запишем разложение цены опциона в ряд Тейлора в окрестности точки Декомпозиция прибыли и убытков по опционам:
Декомпозиция прибыли и убытков по опционам. ЪУЪ!

Вернёмся к точному PnL по опциону — Декомпозиция прибыли и убытков по опционам — в него входит приращение цены опциона, которое мы можем выразить из используемого разложения следующим образом:
Декомпозиция прибыли и убытков по опционам,
где Декомпозиция прибыли и убытков по опционам — ошибка аппроксимации на промежутке Декомпозиция прибыли и убытков по опционам, обусловленная «греками» более высоких порядков / формой (в моменте) поверхности волатильности / динамикой поверхности волатильности / ошибками реализации / угадайте-чем-ещё ;) В дальнейшем я продемонстрирую, что «греки» по Блэку-Шоулзу дают небольшую ошибку.

Подставим выражение для приращения цены опциона в выражение для точного PnL:
Декомпозиция прибыли и убытков по опционам.

Если раскрыть квадратные скобки — можно изолировать выражения для PnL обусловленных изменением цены базового актива, временным распадом, изменением подразумеваемой волатильности, изменением безрисковой ставки, а также необъясненную часть PnL:
Декомпозиция прибыли и убытков по опционам, где:
1. Декомпозиция прибыли и убытков по опционам — часть PnL обусловленная изменением цены базового актива;
2. Декомпозиция прибыли и убытков по опционам — часть PnL обусловленная временным распадом опциона;
3. Декомпозиция прибыли и убытков по опционам — часть PnL обусловленная изменением подразумеваемой волатильности;
4. Декомпозиция прибыли и убытков по опционам — часть PnL обусловленная изменением безрисковой ставки;
5. Декомпозиция прибыли и убытков по опционам — необъясненная часть PnL (вычисляем точный PnL из цен опциона по формулеДекомпозиция прибыли и убытков по опционам и вычитаем из него компоненты 1-4).

Пример

Возьмём пару июньских путов на GLD, 120-го и 130-го страйков, в кол-ве 139 и 45 шт, по ценам 0.136 и 0.329, соответственно.

Разживёмся необходимой маркетдатой:
Декомпозиция прибыли и убытков по опционам

Сосчитаем подразумеваемую волатильность и «греки»:
Декомпозиция прибыли и убытков по опционам
Декомпозиция прибыли и убытков по опционам
Декомпозиция прибыли и убытков по опционам
Декомпозиция прибыли и убытков по опционам
Разложим изменения цены опциона по «грекам» и сосчитаем декомпозицию PnL для портфеля путов:
Декомпозиция прибыли и убытков по опционам

Построим регрессию точного PnL в зависимости от объясненной части PnL:
Декомпозиция прибыли и убытков по опционам

Как видим, slope близок к единице, intercept статистически незначим, а коэффициент детерминации близок к 99% (и это с «греками» по Блэку-Шоулзу! o_O).

Перестроим регрессию без intercept'а:
Декомпозиция прибыли и убытков по опционам

График рассеяния точного PnL против объясненного PnL:
Декомпозиция прибыли и убытков по опционам
Графики базового актива и суммарного PnL (точного, объясненного и необъясненного) портфеля опционов с начального момента времени:
Декомпозиция прибыли и убытков по опционам

И, наконец, полная декомпозиция PnL рассмотренного портфеля путов в табличном виде:
Декомпозиция прибыли и убытков по опционам

Итого:
1. К концу дня 19 марта был достигнут максимальный PnL по дельте и гамме (т.е. обусловленный изменением цены базового актива);
2. Днём раньше был достигнут максимальный PnL по веге (т.е. на изменении подразумеваемой волатильности);
3. За время существования портфеля FED понизил ставку, поэтому немножко заработали на ро;
4. К концу дня 24 марта практически весь объясненный PnL откатился (из-за отскока GLD и падения подразумеваемой волатильности, а также временного распада), в настоящее время большую часть PnL такого портфеля составляет необъяснённая часть.

Таким образом, рассмотренный подход декомпозиции PnL позволяет объяснять происходящее с портфелем.

Что можно улучшить? Скажем, запихнуть часть vega-PnL в delta-PnL и theta-PnL, используя вашу любимую модель поверхности волатильности и её динамики. Удачи))

Приложение: исходный код примера
★16
диалог опционщиков 
Подскажите опционам ситуация: купил вчера пут на РТС, с гашением 16.04 и страком 105 000, покупал по 1000 на уровне 115 000, через пару часов закрыл по опционы по рынку на уровне 111 000 РТС по цене 1500, итого счет показал +50% по закрытой позиции.
Вопросы:
1. Что было стало бы с ценой опциона, в случае, если к 16.04(дата гашения) индекс находился ниже 115 000 (цены входа), к примеру на уровне 111 000, но выше цены страйка 105 000? Могу предположить, что цена опциона была бы больше чем 1000(цена входа), но меньше чем 1500 в виду близкого срока гашения? 
2. Что было бы с ценой опциона, в случае, к 16.04(дата гашения) индекс находился выше цены входа 115 000, к примеру 120 000? Могу предположить, что цена опциона составила, примерно 500 за контракт, в этом случае на дату экспирации убыток по позиции -50% или он ограничен той суммой по которой был куплен опцион т.е. 1000?
3. Изменение цены опциона происходит постоянно, в зависимости от изменения базового актива, сумма средств изменяется соответственно, что произойдет, если к примеру цена опциона купленного со странником 115 000 за 1000 и гашением через неделю, упала до 100 за опциона в виду роста индекса, к примеру до 135 000, но до экспирации еще несколько дней, позиция, соответственно -90%, что будет в день экспирации?(перефразировал вопрос №2 :) )
avatar

GGR911

 +вопрос:
4. Что стало бы с ценой опциона, в случае, если к 16.04(дата гашения) индекс находился ниже 115 000(цены входа), к примеру, на уровне страйка 105 000, какой финансовый результат по позиции? Равняется ли результатом сделки, факт изменения цены на опцион, покупая по 1000, к дате экспирации, к примеру его цена составила 2000, соответственно, результат к экспирации 100%? 
5. Есть ли смысл ждать экспирации в случае, если достигнутый страйк 105 000 уже достигнут раньше срока экспирации, в случае если ждешь, что цена будет в этом диапозоне до экспирации, выгоднее закрыть по рынку или ждать экспирации?
6. Если индекс ушел ниже цены срайка 105 000, к примеру на 100 000, что будет с опционом?

Спасибо!
avatar

GGR911

GGR911, Извините, но ответы на большинство подобных вопросов лучше выяснить у любого софта для анализа опционных позиций. Мне не интересно анализировать позиции за вас.

По 5 вопросу: Когда цена базового актива находится на страйке — вся стоимость опциона состоит из time value, а intrinsic value ~ 0. Незачем оставлять под риском распада прибыль. По 6 вопросу: intrinsic value +5000, time value — ?.. В обоих случаях: что делать — зависит от вашей стратегии.
avatar

Eugene Logunov

Понимание откуда деньги — это, конечно, хорошо, если есть на это время.
А так, наверное, это лишь часть необходимого софта. Вот если бы анализ сподвиг 19-го занейтралить дельту, 18-го напродавать вегу, сейчас бы подсказал как держать минимальную тетту…
avatar

alex24

А вроде фьюч над спотом содержит стоимость денег. Поэтому ро в опционах на фьючи на нашей бирже учитывать не надо. Или я ошибаюсь?
avatar

_xXx_

_xXx_, Не нужно.
avatar

Eugene Logunov

Спасибо, полезный анализ.
avatar

_xXx_

Занес в избранное, надо мне разобраться по глубже, достаточно полезно будет мне. Спасибо
avatar

Андрей К

Eugene Logunov, мне такое нельзя давать =)) я могу уйти надолго =) Спасибо полистаю на выхах
avatar

Андрей К

В дальнейшем я продемонстрирую, что «греки» по Блэку-Шоулзу дают небольшую ошибку.

А вот это я не понял.
avatar

Dmitryy

Dmitryy, Обратите внимание на построенные регрессии в примере: объяснили 99% дисперсии. А если ещё и на такую посмотреть -

так вообще можно сказать, что объясняющая способность практически идеальная. Эту регрессию можно интерпретировать как тест на значимость отличия коэффициентов самой первой регрессии в статье от (0; 1); см. статистическую значимость коэффициентов.
avatar

Eugene Logunov

тут не плакать… тут впору рыдать ((( 
avatar

Тихая Гавань

Спасибо, оч круто!
avatar

tashik

сильно
avatar

Dmitry

В идеале весь этот P/L должен приводить поверхность волатильности к рыночной, а итоговый P/L — это спред, и все торговцы опционами — маркетмейкеры!))
avatar

bozon

Напрашивается интересный вывод: часть финреза, которая объясняется греками БШ, дала в итоге минус по данной позиции.

 

Небольшой плюс сформирован за счет «невыясненных факторов». Среди которых, видимо, в первую очередь надо отметить удачное формирование позиции с использованием информации об истинной динамике золота на рассматриваемом участке времени?..

avatar

ch5oh

ch5oh, 
Напрашивается интересный вывод: часть финреза, которая объясняется греками БШ, дала в итоге минус по данной позиции.
Регрессионный анализ показывает, что статистически значимого смещения (значимого intercept'а в первой регрессии) нет. Конечно, чтобы утверждать это с уверенностью, надо перемолоть на порядки больше данных. Но даже без использования поверхности волатильности и «правильных греков» получается весьма неплохая декомпозиция.

с использованием информации об истинной динамике золота на рассматриваемом участке времени?
Возможно, вам будет интересно посмотреть на график объемов торгов по обозначенным опционам за рассматриваемый период. Там медведи натоптали ;)
avatar

Eugene Logunov

чет со спот-кривой не так, возможно надо было брать 2 бенчмарка, не только F08203M:
мартовские котиры очень уж большими представляются. гляну непосредственно Treasury  ща инфу.
avatar

flextrader

flextrader, Иногда я жалею, что у меня мало опыта с fixed income :( Буду рад, если вы меня поправите в плане выбора процентной ставки.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov,  я знаю, что F08203M безкупонка и это тру. но котировки в марте уж очень велики даже для z-coupon

вопрос, кмк, весь в том, что (если правильно понял, не вникал пока в детали — выборка рассматривается на месяце, т.е. в прайсинге GLD T=[3m...2m] не const — time.to.expiry[] и все такое), на каких ключевых сроках используемый бенчмарк (я подозреваю, что это 1m),

я по правде говоря просто с этим не удосужился разобраться, но если все ж T= переменная, то для ~3m опцев надо б интерполировать ставку в первом приближении (грубо из z-coupon кривой на 2m и 3m, ну подобно тому, как vix интерполирует волу от разных серий).

другое дело, что при околонулевых, на результат наверно это скажется мало
avatar

flextrader

flextrader, Тогда уж проще по put-call parity ставку прям из цен опционов выдёргивать. Или, если уж заморачиваться — воспроизвести расчет поля OP011:


В данном примере если и есть косяки со ставкой — они будут компенсироваться IV. Будут немного кривые греки и немного кривая декомпозиция. Но в целом для иллюстрации — сойдет.
avatar

Eugene Logunov

Eugene Logunov, для иллюстрации, то конечно сойдет.

з.ы.
я кстати последний раз прайсил GLD где-то в декабре/янв, ближние серии и 2021,  ставки конечно были радикально)) другими. и из-за упрощений с оценкой волы получал миспрайс для дальних. Думал надо бы прикрутить   Хестона, например, но калибровать поленился тогда — наверно правильно.

а вот после cut-а, возможно имело смысл сразу включаться в эту тему потому как предполагаю в precious (и xau, и xpd) неэффективностей повылазило в последнее время, даже в etf 
avatar

flextrader

Самый лучший способ зарабатывать деньги это умеем считать в процентах, не интегрировать прибыли при интеграле 0 равен при одинаковом пределе интегрирования

....все тэги
2010-2020
UPDONW