Блог им. elogunov

Страх и ненависть в непокрытых опционах

Продолжаем обсуждать необходимость в улыбках и поверхностях волатильности, начатую здесь: https://smart-lab.ru/blog/573322.php

Страх и ненависть в непокрытых опционах
(Источник: Паттерсон Скотт «Кванты. Как волшебники от математики заработали миллиарды и чуть не обрушили фондовый рынок»)

С одной стороны, есть ряд статистических феноменов, которые объясняют отличия рыночных поверхностей волатильности от плоских, соответствующих модели Блэка-Шоулза. Но давайте попробуем объяснить завышенную (по сравнению с Б.-Ш.) стоимость далёких от денег опционов исходя из поведенческих особенностей трейдеров, а именно, страха потерь.

Итак, страх. То, чего не хватает одним трейдерам, а у других — имеется в избытке. Опустим бесполезные философские рассуждения и попробуем разработать формализованный подход к оцениванию опционов, который будет учитывать наш страх относительно возможных негативных финансовых результатов.

Воспользуемся всеми предположениями модели Б.-Ш. (непрерывная торговля бесконечно малыми объёмами; цена является геометрическим броуновским движением Страх и ненависть в непокрытых опционах с известными параметрами Страх и ненависть в непокрытых опционах; безрисковая ставка постоянна и равна Страх и ненависть в непокрытых опционах; бла-бла-бла). Дополнительно предположим, что задана некая функция полезности (utility function) Страх и ненависть в непокрытых опционах, которая характеризует наше отношение к тому или иному финансовому результату, а также есть некое число Страх и ненависть в непокрытых опционах, характеризующее наш капитал в начальный момент времени.

Конкретный вид функции полезности мы обсудим позже. Величина капитала нужна лишь для удобства рассуждений; при желании её можно спрятать внутрь функции полезности и провести аналогичные рассуждения в терминах изменений капитала в деньгах, процентных или логарифмических доходностей.

Допустим, мы хотим продать без покрытия европейский опцион типа call со страйком Страх и ненависть в непокрытых опционах и временем до экспирации Страх и ненависть в непокрытых опционах, при текущей цене базового актива Страх и ненависть в непокрытых опционах. Плотность риск-нейтрального распределения Страх и ненависть в непокрытых опционах цены базового актива на момент экспирации обозначим Страх и ненависть в непокрытых опционах.

Напомню, как мы обычно считаем цену опциона: Страх и ненависть в непокрытых опционах, или, что то же самое, Страх и ненависть в непокрытых опционах.

Цены опционов в соответствии с моделью Б.-Ш. получаются подстановкой логнормальной плотности риск-нейтрального распределения цены на момент экспирации:

Страх и ненависть в непокрытых опционах.

Теперь займёмся новым подходом, учитывающим наш страх потерь.

В начальный момент времени продадим без покрытия опцион по некоторой (пока что неизвестной) цене Страх и ненависть в непокрытых опционах, и разместим имеющийся капитал в размере Страх и ненависть в непокрытых опционах под безрисковую ставку Страх и ненависть в непокрытых опционах; таким образом, к моменту экспирации наш капитал составит Страх и ненависть в непокрытых опционах. Наш лось от непокрытой продажи опциона составит обязательные Страх и ненависть в непокрытых опционах; реализуем мы этого лося (если опцион окажется в деньгах) в момент экспирации, продав базовый актив по цене страйка Страх и ненависть в непокрытых опционах покупателю нашего опциона, и тут же откупив базовый актив по его фактической цене. Итого, с учётом лося наш капитал на момент экспирации составит Страх и ненависть в непокрытых опционах. Ъуъ!

А теперь самое интересное. Справедливой ценой опциона будем считать такую цену Страх и ненависть в непокрытых опционах, которая удовлетворяет уравнению

Страх и ненависть в непокрытых опционах.

Смысл уравнения очень прост: ожидаемое значение функции полезности от результата нашей продажи опциона должно совпадать со значением функции полезности, которое мы получим, если не будем продавать опцион, а просто разместим капитал под безрисковую ставку на то же самое время.

Возьмём простейшую функцию полезности Страх и ненависть в непокрытых опционах, как будто бы мы абсолютно одинаково воспринимаем прибыли и убытки, и посмотрим, какая получится цена опциона в таком случае:
Страх и ненависть в непокрытых опционах;
Страх и ненависть в непокрытых опционах;
Страх и ненависть в непокрытых опционах;
Страх и ненависть в непокрытых опционах;
Страх и ненависть в непокрытых опционах;
Страх и ненависть в непокрытых опционах.

Страх и ненависть в непокрытых опционах

То есть, при использовании функции полезности вида Страх и ненависть в непокрытых опционах и того же самого риск-нейтрального распределения, что и в модели Б.-Ш., получим цены опционов в полном соответствии с моделью Б.-Ш.

Более интересные результаты должны получиться, если наше отношение к прибылям и убыткам неравноценно. Хорошей идеей кажется выбор функции полезности типа CRRA (constant-relative risk aversion, «isoelastic utility»), имеющей следующий вид:

Страх и ненависть в непокрытых опционах,
где Страх и ненависть в непокрытых опционах — коэффициент, характеризующий склонность к риску. При Страх и ненависть в непокрытых опционах получаем уже знакомый линейный случай.

Страх и ненависть в непокрытых опционах
Подытожим, что у нас есть:
1. Функция полезности: Страх и ненависть в непокрытых опционах;
2. Плотность риск-нейтрального распределения цены, взятая из модели Б.-Ш.: Страх и ненависть в непокрытых опционах;
3. Уравнение, которому должна удовлетворять цена опциона: Страх и ненависть в непокрытых опционах.


Собирать всё это вместе и решать аналитически относительно Страх и ненависть в непокрытых опционах я, конечно же, не буду. Ведь это можно сделать и численно!

Кстати, от переменной Страх и ненависть в непокрытых опционах можно избавиться, спрятав её в функцию полезности: Страх и ненависть в непокрытых опционах. Тогда уравнение, из которого определяется цена опциона, приобретёт вид: Страх и ненависть в непокрытых опционах.

Другим интересным вариантом функции полезности является Страх и ненависть в непокрытых опционах. Особый интерес она может представлять для мазохистов, склонных продавать опционы по заниженной IV. Подобное поведение будет достигаться при Страх и ненависть в непокрытых опционах. При Страх и ненависть в непокрытых опционах получатся обычные цены опционов по Блэку-Шоулзу, а вариантСтрах и ненависть в непокрытых опционах должен понравиться тем, кто боится продавать края ниже центра по волатильности. Именно эту функцию полезности я и буду использовать в численных экспериментах.

Страх и ненависть в непокрытых опционахСтрах и ненависть в непокрытых опционахСтрах и ненависть в непокрытых опционах
Итого, видим, что сильнее всего поменялась стоимость коллов в деньгах. Не совсем ожидаемый результат, но, в каком-то смысле, видно, что utility-based подход работает: разное отношение к прибылям и убыткам может приводить к разным справедливым (с точки зрения отдельного трейдера) ценам опционов.

Также следует отметить:
-1. Возможно, постановка задачи в терминах относительных доходностей, либо продажа бОльшего кол-ва опционов вне денег (чтобы выручить фиксированную сумму премии — нужно продать больше дешевых опционов, а это больший риск) исправит ситуацию.
0. Отличие риск-нейтральной плотности распределения, если извлечь её из цен опционов, от риск-нейтральной плотности в рамках Б.-Ш. может объясняться разной склонностью трейдеров к риску.
1. Для опционных конструкций или портфелей, вероятно, считать ожидаемую полезность нужно целиком.
2. Предложенный подход не предполагает дельта-хеджирования.
3. С точки зрения покупателя цена опциона может отличаться от цены продавца опциона, если они работают в рамках предложенного подхода.
4. Разные utility функции и их параметры могут давать разные цены.
5. Не факт, что utility функции и их параметры должны совпадать для коллов и путов.
6. Возможно, подход работает как надо, но в данной формулировке (от продажи) — только для коллов в деньгах (третий график — сумели приподнять IV при gamma=0.5). Может, надо проделать то же самое для путов в деньгах и получать цены опционов вне денег исходя из put-call parity?

Приложение: некое воплощение предложенного подхода.
★21 | ₽ 50
И здесь мозги вывихивают снова(собака правильная на фотке))) Скажите правду, знания такие или такого действительно профитны?..
Дмитрий Ш, Лично для меня — профитны :)
Дмитрий Ш, такие статьи лучше не читать.
И вообще занести всех авторов из раздела «Опционы» в ЧС.
Вот теперь есть над чем поломать голову в выходные)) в эти и все следующие до НГ))
Mike Dewar, Стоит только уточнить, до следующего НГ :))) 
Странная функция полезности. Для игроков лотерей, МТТ турниров, WSOPов и покупателей опционов она, обычно, имеет другую форму, типа x^2 и аналогов.
Kot_Begemot, Выбор utility function — это простейшая задача в таком подходе. (Я ещё пропустил exponential utility и mean-variance utility.) Либо мы попали в рынок, либо нет. Или вообще выбрали utility из своих собственных предпочтений, забив на то, что думает рынок.

Более сложный вопрос — как мы финрез от торговли опциона в эту utility подадим. (Ну, или мне проспаться надо, чтоб интегралы не расходились)
Eugene Logunov, 


Интеграл U(x) * p(x) по всем x — возможным исходам >0 — повод играть. Не понимаю, что там будет расходиться 
Kot_Begemot, 
Интеграл U(x) по всем x — результатам >0 — повод играть.
Не так. Среди двух игр/действий X и Y следует выбрать ту, у которой больше utility. Ни знак, ни абсолютная величина utility не важна. Если ни одно из действий не увеличивает utility относительно текущего — сидим на заборе.
Впрочем, я это на 4 курсе изучал, лет шесть назад. Может забыл чего-то?
зачем вам финрез от торговли опциона?
У нас есть разные возможные исходы по цене на момент экспирации, транслирующиеся в разный финрез. Но их надо во что-то преобразовать: в новый уровень активов, в процентную доходность, в логарифмическую доходность и т.д. Вопрос в том, как это красиво сделать, например, чтобы вообще обойтись без переменной W. С другой стороны — без неё никак, т.к. обнуление капитала или уход в зону долгов нужно очень сильно штрафовать.
Eugene Logunov, 

Если ни одно из действий не увеличивает utility относительно текущего — сидим на заборе.

Таким образом, знак utility всё же важен. 
За неимением альтернатив достаточно U>0;
За имением альтернатив, решается задача  i :  max( U(i) ) по i, где — i — альтернативы.

Если все альтернативы одинаково альтернативны, то это означает, что 

dU/di = 0

То есть рынок находится в равновесии улыбки. Модуль U при этом не важен и в пределе он равен нулю (не обязательно), поэтому для построения справедливой улыбки вполне достаточно положить U(i) == 0 (тождественно).

Если форма кривой зависит от константы U(i)=C, где, грубо говоря, С — некоторый предел удовлетворения потребностей, то придётся строить улыбки с поправкой на С. Но в Б-Ш вы же тоже этого не делаете — вы берете С = 0 при линейной функции полезности. 


 Но их надо во что-то преобразовать: в новый уровень активов...

Что же, раз уж мы занимаемся задачами замещения риска, то мы берём, действительно, подлинейную функцию полезности по конечному капиталу и интегрируем всё это дело по вероятности (не-фин. рез, а полезность рез.).

После чего равняем производную альтернатив с банковским вкладом и радуемся. Здесь претензий нет. Вопрос в том, почему у вас расходятся интегралы. А могут они расходиться в том случае, если у вас там вылезет какая-нибудь бесконечность в нуле, log(0) — и есть та бесконечность. 

Теперь, поскольку вас интересует производная полезности по альтернативам, а не сам её модуль, вы можете обнулить полезность в нуле, оставив функцию подлинейной, то есть, грубо говоря, сохранение капитала уже само по себе будет ценно. Или вам нужно будет ввести объёмы и снизить волу БА ( по отношению к  W).
Eugene Logunov, 

таки, а как считать CRRA (да и всё остальное) при x<0?

можно конечно сказать U'(x) = CRRA(max(x, 0)), но это как-то «с душком»

anon, Эта функция полезности определена только для положительных чисел (зато если мы учитываем текущий капитал — мы будем бесконечно сильно штрафовать сценарии, в которых он уходит в ноль или в отрицательные значения).

Exponential utility в этом смысле должен быть удобнее.
За функцию полезности отдельное спасибо.
Тонкий, профессиональный подкол для Тимофея =)))
Забавно, да. Нашлось за час(глубокой ночью!) 12 человек, которые здесь из всего воспринимают ТОЛЬКО ЭТО))) Такого быть не может точно, и половина реагирует, как на «платье голого короля»
у меня такой вопрос, наличие этих формул как-то делает угадывание на рынке чаще в свою пользу?
avatar

meat

meat, Вопрос мой повторил, первый же коммент. Автор ответил «да». Вот задолбали ж вы кроме себя все никого и ничего не видеть
Дмитрий Ш, он по смыслу немного отличается :)
meat, По-сути нет)) Одно и то же, чуть иначе сформулировано
meat, У меня точно такой же вопрос постоянно возникает, но не относительно формул, а относительно рисования всяких чёрточек на графиках… Из последних сил держусь, чтобы не сказать всё, что я про это думаю, кому-нибудь в комментах!
Eugene Logunov, я где-то видел подобные формулы уже для вычисления цены опционов, и даже тут говорится про европейские опционы которые у нас не торгуются

а что насчет fat-tailed distribution скажешь? есть даже книга целая как раз про всякие черные лебеди там говорится

имхо, все кажется думают, что цена есть случайная величина, которая стремится к нормальному распределению, но это не так

а можно еще для цены опционов использовать метод монте-карло, но я не проверял :)

meat, 
я где-то видел подобные формулы уже для вычисления цены опционов
Часть из представленных формул известны уже лет 40, не меньше.
Было бы странно пренебречь всеми достижениями финансовой математики и разрабатывать всё с нуля.
даже тут говорится про европейские опционы которые у нас не торгуются
Приспособить к опционам на фьючерсы несложно. К американским опционам приспособить чуть сложнее, но тоже можно: приблизительное решение даст процедура обратная изложенной мною ранее.
а что насчет fat-tailed distribution скажешь? есть даже книга целая как раз про всякие черные лебеди там говорится
«Лавр Федотович: Грррм… Какие будут предложения?
Машина: Признать мене за научный факт.»
Eugene Logunov, я тут это… орешки колол… макадамия называется. два орехокола погнул, пока мне «ключик» не дали, который нужно в щелочку сунуть и повернуть. оказалось, что открываются «на раз». по крайней мере, 6-летняя дочка легко справляется.

а раньше я гадал, как же эти орешки прорастают в естественных условиях, если скорлупу у некоторых видов практически нереально расфигачить ни молотком, ни ломом.

с головой то же самое, походу. снаружи сколько ни дави — штука крепкая, а вот изнутри мозг иногда так давит, что черепок разлетается аки граната (ручная которая и без чеки ;)
meat, 
Вот почитайте, например, это интервью
fomag.ru/news/z-deutsche-bank-v-algotreyder/
Хороший пример того, что даже небольшие команды из 2-3-4 людей могут зарабатывать такими методами. Правда, там и опыт до этого очень хороший был.
Анастасия К, из статьи не понял как они там продают опционы и где связь с формулой цены опционов из этого поста

понял что это HFT который раньше делали в крупном банке и решили стать самостоятельными
Отличная статья!

Но есть вопрос.
Кто-нибудь может мне, тупому, объяснить, почему, смотря на график цены актива, мы видим траекторию случайного процесса?
И применяем методы ТВ и МС?
На нем это что, жирным шрифтом написано?

С уважением

P.S. К топикстартеру вопросов нет — он уже объяснил в первом камменте, что такая точка зрения выгодна лично для него. Поэтому в-основном вопрос адресуется другим участникам дискуссии )))
Мальчик Buybuy, доказательсво от противного. Раз цена не является детерминированной, значит она случайна.
ch5oh, Прошу вас ещё раз обратить внимание на рис. 1.1 в статье нашего коллеги :)
Случайность и мартингальность — это более узкие понятия, чем «недетерминированность». В общем случае недетерминированного процесса мы и лемму Ито применять не в праве…
Eugene Logunov, приведите пример процесса, который недетерминирован, но без сомнения неслучаен.
ch5oh, Мы сейчас в философию ударимся :) Я способен привести пример детерминированного процесса, либо случайного. Но когда у нас нет достоверных знаний о природе и будущей динамике процесса — на мой взгляд, это и есть недетерминированный случай. Мы можем выдвигать для такого процесса какие-то гипотезы в рамках модели случайности, но все они будут лишь нашими гипотезами, а не реальностью.

Впрочем, в той же статье, где и рис. 1.1, есть очень хороший пример — «гибкая монетка». Такие случаи пытаются формализовать некоторые обобщения классической теории вероятностей.
Eugene Logunov, все процессы в природе имеют случайный характер. Только в некоторых частных случаях ско много-много-много меньше измеряемой величины и исследователи ошибочно считали такие процессы «детерминированными». В пределах погрешности своих измерительных приборов.
ch5oh, таким образом, вы утверждаете, что чем больше мы знаем о  детерминированном процессе, тем менее он для нас случаен )
Kot_Begemot, не понял, как Ваше высказывание вытекает из моего.


Скорее, из моего высказывания вытекает следующее:  чем внимательней мы изучаем «детерминированный» процесс и чем точнее при этом наши приборы, тем скорее мы начнем считать этот процесс имеющим элементы случайности.
ch5oh, то есть абсолютно случайные процессы вы априори считаете абсолютно не случайными и их случайность ещё будет требовать для вас доказательства? 

С точки зрения человеческой психологии, быть может, и так. С точки зрения естествознания — с точностью до наоборот.
Kot_Begemot, у нас с Вами какая-то серьёзная проблема с коммуникацией.
Я пишу «белое», вы переспрашиваете меня «Как черное?»


Итак, последний раз.
Все реальные процессы случайны.
ch5oh, если вы не имеете ввиду демона Лапласа, то я совершенно не понимаю, что вы иметее ввиду.
Eugene Logunov, либо мы опять наблюдаем терминологическую путаницу из разряда «вещественные» или «действительные» числа?


Чем по Вашему случайный процесс отличается от недетерминированного?
Eugene Logunov, по Рис. 1.1 можно сказать, что я с ним не согласен.
Все реальные процессы являются случайными. У них есть маленький-маленький подкласс процессов у которых ско измеряемых величин пренебрежимо мало по сравнению с этими величинами. Их мы для простоты называем «детерминированными».


Что касается «неопределенных», то это просто эвфемизм. Как мы увидели из дальнейших статей, в итоге автор активно использовал теорию случайных процессов, при этом стараясь избегать использоввния общепринятой терминологии.
ch5oh, У типичного человека на каждой руке 5 пальцев (от рождения), но иногда это кол-во отличается в ту или иную сторону. В силу самых разных причин у некоторых людей в ходе жизни количество пальцев на руках уменьшается; возрастать же оно, скорее всего не может (эволюция ещё не дошла?). Насколько я понимаю, пока что наука недостаточно продвинулась, чтобы достаточно точно прогнозировать генетические отклонения как у отдельных индивидуумов, так и их распространение по популяции. Т.е. как будет меняться распределение кол-ва пальцев на руках у людей, пожалуй, загадывать не стоит. Так вот: x[T] равное среднему количеству пальцев на руках живых в момент времени T людей, если не округлять, это, на мой взгляд, неопределённый процесс 
Eugene Logunov, это чисто случайный процесс. Он ограничен сверху числом 5 (или 6), но в каждый момент времени T является случайной величиной. Зависящей как от количества ныне живущих, так и от личной истории каждого человека (обморозил пальцы или нет, потерял палец на производстве или повезло).


Да, у него среднее почти точно равно 5.
Да, его ско ничтожно мала. Может быть, меньше 1е-6.


Тем не менее.
ch5oh, уважаемый

Здесь все не так просто.

1. То, что цена не является детерминированным процессом, достаточно просто доказывается
2. Возьмем детерминированную динамическую систему с плохим поведением и добавим чутка стохастики. Вангую — даже в одномерном случае изучение приращений отдельных движений не даст никакой полезной информации
3. Многие темы в теории фильтрации начались с решения задачи расчета упреждения прицела зенитного орудия при стрельбе по управляемой цели (самолет с летчиком). Во время Второй Мировой эту задачу успешно решил Винер (вычислительно сложно), позднее — Кальман и Бьюси (вычислительно значительно проще). Однако, если мы начнем измерять приращения положения самолета (или целевых углов на него) — мы выясним в-основном лишь то, что движение самолета вполне себе подчиняется законам Ньютона (хотя пилот рулит по своему).

Так что, наверное, случайность случайности — рознь.
Если мы знаем законы, которым подчиняется рынок (так же, как управляемый объект законам Ньютона и т.д.), можно переходить к стохастике. Если нет — вопрос, что мы получим в результате своих исследований?

С уважением
Я в математике слаб, но всегда приятно вставить слово в беседе с умными людьми. Есть наблюдение что страх сильнее жадности, но быстрее забывается. Те есть наверное ассиметрия в функции полезности не только от x, но и от t. Возможно и на этот счёт давно придумана функция.
Никто не сказал спасибо за пост. Спасибо, интересно всегда.
avatar

ПBМ

      Теперь могу сказать точно, не зря я в институте интегралы учил, хоть где-то их можно применить :)) 
       
Оно, конечно, хорошо в выдуманном мире жить, с бесконечной ликвидностью. 
avatar

Spekyl

Spekyl, В более реалистичных предположениях у нас будет проблема не то, чтобы решить задачу, но даже с тем, чтобы её сформулировать в виде каких-то уравнений. Добавление транзакционных издержек, неравномерности хода торговли (выходные, перерывы между сессиями), market impact, динамики волатильности и безрисковой ставки...

Потому приходится жертвовать реалистичностью и упрощать условия, либо делать какие-то эвристические поправки к строгим результатам.
 Либо мы попали в рынок, либо нет.
 Спасибо, я понял этот основной посыл данного топика, и совершенно согласен. Правда, исходя из этого постулата, я так и не вижу преимуществ (хотя бы в плане рисков) опционной торговли перед линейной фьючерсами.
О'Грин, если попал в рынок, то нелинейным опционом заработаешь больше чем фьючерсом при том же риске. Насколько больше? Опционы бывают что ходят на 1000-10000% за сессию. Нужно просто попасть, и формулы в этом не помогут.
Люфт, 
если попал в рынок
Речь не о том, чтобы угадать или не угадать направление.

В этом комменте, из которого была выдернута фраза, речь о том, что в зависимости от выбора функции U(x) цены опционов при таком подходе (если гипотеза о принципе ценообразования верна, разумеется) могут получиться либо соответствующими рыночным («попали»), либо не соответствующими («не попали». нужна другая функция? изменились параметры?).
формулы в этом не помогут.
Кому как.
Eugene Logunov, имел ввиду, что формулы не помогут попасть в рыночное движение.
Люфт, 
нелинейным опционом заработаешь больше чем фьючерсом при том же риске. 
А риск точно одинаков?
Опционы абсолютно также ликвидны, как и фьючи?
Максим Барбашин, точно, вы же его сами задаете в сделке. Есть ликвидные рынки.
Люфт, 
Тогда вопрос.
Почему каждый раз, когда маркетос отходит покурить, как в марте или декабре, рынок начинает лихорадить?
Где сотни и тысячи мелких спекулянтов, которые тут же готовы выкупать ценовые дисбалансы?
Максим Барбашин, я не воспринимаю российский рынок опционов.
Максим Барбашин, О каких именно фьючах и опционах вы говорите? Просто есть такие фьючи, у которых при узком спреде на best prices стоят котировки объёмом под 20 миллиардов USD (добро пожаловать на STIR фьючи, лол). А у опционов на нормальных площадках достаточно ликвидности для практических целей большинства здешних обитателей.

А риски… они другие. Если вы не понимаете разницы — не надо лезть в опционы.
Eugene Logunov, 
Ну так и скажите как профессионал в опционах.
Минутная свечка на бренте — где-то тысяча коней.
Но на самом деле, и сотни обычно достаточно, чтобы сдвинуть спрэд.
Пару дней назад Коля Лоссбой не мог пристроить несчастных 29 контрактов.
Максим Барбашин, 
Пару дней назад Коля Лоссбой не мог пристроить несчастных 29 контрактов.
«На западе торгуются ликвидные фьючи и опционы на нефть, но нам нравится страдать на мосбирже.» Понимаю…
Eugene Logunov, 
Ну так об этом и речь.
Ваши выводы подходят для крайне ограниченного числа рынков со строго определенными условиями
 Мальчик Buybuy
Кто-нибудь может мне, тупому, объяснить, почему, смотря на график цены актива, мы видим траекторию случайного процесса? На нем это что, жирным шрифтом написано?
1. Смотря на каком таймфрейме.
 Я по понятным причинам я сосредоточен на ф.брент на ммвб, так что внятно могу лишь о нём.
 Это инструмент, цену на который определяют на нескольких торговых площадках несколько финансовых групп из разных стран с различными интересами и задачами. Его драйверами являются как чисто нефтяные факторы, так и геополитические и финансовые.
 График его цены — графическое отображение результата действий этих многочисленных групп, которые на данный кол времени вызваны совокупностью этих факторов. И эти факторы для разных групп игроков могут иметь диаметрально противоположные по направлению стимулы для входа в рынок.
 Возможная модель для РИ — жирную гусеницу тащат в муравейник десятки муравьёв. Хаос и бардак в движениях, но тем не менее, гусеница зигзагами всё же продвигается в направлении муравейника.
 ИМХОвая модель для брент — жирную гусеницу тащат сотни муравьёв из разных муравейников, примерно равноудалённых от неё. Траекторию движения такой ситуации я регулярно наблюдаю в бренте, особенно в боковике последних месяцев.
 Т.е. хаотичные и случайные движения против расчётов всех гуру ТА она исполняет постоянно — итого на графике таки жирным шрифтом регулярно выскакивает надпись — Случайный процесс!
 Тем не менее, на определённых, коротких ТФ я регулярно нахожу краткосрочные закономерности и неэффективности рынка, которые при соблюдении рисков позволяют мне на них неплохо и стабильно зарабатывать.

 Так что для периода последних нескольких месяцев моё ИМХО на Ваш вопрос — Нет здесь на графике ни чисто чёрного, ни чисто белого. Даже серого нет. Есть весь спектр излучения с различными весовыми долями в разные дни, недели и месяцы.

 ИМХО, формализовать условия и критерии надёжного заработка ( к чему Вы так стремитесь) на таком графике — невозможно.

 А это мы ещё вплотную не подошли к сезону перевыборов Трампа, да и китайская карта пока лежит на столе рубашкой кверху...

Какой смысл рассматривать подход без дельта-хеджирования?.. Ну, если только сильно верующий.

avatar

Andy_Z

Andy_Z, При выводе уравнения Б.-Ш. мы работаем с захеджированным по дельте портфелем. Но абсолютно те же самые цены можно получить работая просто с распределением выплат опциона на момент экспирации. Получается, не так уж нам и нужно говорить про дельта-хеджирование при определении цены? (В общем случае, конечно, есть нюансы, но в данном случае они не всплывут)

Опционы — это не всегда торговля с дельта-хеджем. Кому-то нравятся направленные трейды из соображений низкой маржи и значительной асимметрии в рисках и потенциальной доходности.

Но если дельта вам нужна — ничто не мешает сосчитать её в рамках предложенного подхода. Правда, текущая его версия заточена именно под непокрытую продажу без хеджа; чтобы работало для случая с хеджем — нужно явно отразить дельта-хедж в выплатах, которые подаются на вход функции полезности. Но мне не очевидно, возникнет ли в таком случае в опционах какая-то улыбка. Как минимум, потребуется сказать, что мы в точности не знаем будущую волатильность, а финрез наш зависит от разницы RV и IV, а дальше — смотреть, как это повлияет на цены опционов (подорожают те, где больше гамма?).

Короче, возможность обобщить предложенный подход на случай с дельта-хеджем предоставляется всем заинтересовавшимся читателям :)
интересно, но пока что мой разум занят «перевариванием» формул с подвижностью, так что извините:))
Ну с первого взгляда это явно не мой уровень матана:))
avatar

bozon

bozon, 
Ну с первого взгляда это явно не мой уровень матана:))
Пытался изложить без тех зверств, которые бывают в статьях по финансовой математике.
p.s. Средний балл моего диплома — 4 ровно. У всех сверхразумов обычно что-то типа (5-epsilon) :D
Правильно ли понял гипотезу: толстые хвосты появились из-за страха именно продавцов? Грубо говоря: раньше они продавали край за 10п, но потом привлекли функцию полезности и поняли, что дешевле чем за 100п — не выгодно и передвинули свои аски. А покупатели по-возмущались, по-роптали, но делать нечего — передвинули свои биды с 9 на 99п. Так что-ли? Как-то несправедливо выходит. Получается продавцы выкрутили руки покупателям.

Имхо, определение справедливой цены через равенство матожидания PnL для покупателя и продавца — более понятное и справедливое. А ф-ции полезности можно привлекать, когда есть несколько разных вариантов комбинаций опционов с положительным МО PnL и за счет своего отношения к риску выбираешь оптимальный для себя. И, кстати, на какую долю от счета открываться — тоже ф-ция полезности подскажет.
Кирилл Браулов, 
Правильно ли понял гипотезу: толстые хвосты появились из-за страха именно продавцов?
Толстые хвосты были и раньше. Это просто опционщики до какого-то момента были неопытные. А потом у них изменилось отношение к прибылям и убыткам — такова используемая здесь гипотеза отклонений цен от Б.-Ш.
Так что-ли? Как-то несправедливо выходит.
Если нашелся покупатель по цене 100 (неважно как он нашелся: не осилил Б.-Ш. / его кроют по маржин-коллу / решил полудоманить), а все остальные умные покупатели так и стоят по 10 — я с радостью выставлю bid по 90 и пусть в него настучат: я заберу свою прибыль, а с рисками от проданного опциона будет возиться кто-то другой.

За счёт конкуренции между покупателями, не получающими исполнений по 10, и различной жадности продавцов (кто-то готов продать по 100, а кто-то по 70) рано или поздно спреды сузятся.
Имхо, определение справедливой цены через равенство матожидания PnL для покупателя и продавца — более понятное и справедливое.
Ну, это как посмотреть :) Работа через матожидание — это просто привычный подход, отличия от которого вы вряд ли найдёте в большинстве учебников по финансовой математике (напр., у Бьорка ничего такого не припоминаю).

Для риск-нейтрального трейдера (U(x)=x, да-да, речь именно об этом, а не только о разнице между физической P и риск-нейтральной Q мерой) всё сводится к матожиданию, т.е. предложенный подход справедлив, если мы не отклоняемся от гипотезы риск-нейтральности.

Но если трейдер избегает риска, либо склонен брать риск — благодаря неравенству Йенсена матожидание полезности выплат опциона отклоняется в меньшую или в большую сторону, соответственно, взгляд трейдера на справедливую цену получается другим.

Выбор наилучшей комбинации или доли счёта — это всё же оптимизационные задачи другого рода. Куда лучшей аналогией является концепция utility-based market-making: например, вот тут, понятие indifference price отлично иллюстрирует идею — мы считаем цену справедливой и готовы по ней торговать, если полезность текущего портфеля равна полезности портфеля с позицией, увеличенной на единицу по этой цене (формула 4; value функция в этой статье — привычный exponential utility).
Eugene Logunov, про мазохизм непокрытой продажи опционов более чем наглядно и в красках изложил как-то пользовать Лоссбой в своём произведении «Раздвигая ноги»:)) А если по делу, то дорогими путы делают всё-таки инвесторы, получающие дивиденды (с опционами получается дивидендный левередж). Вся их полезность определяется ожиданиями по дивам!
bozon, 
А если по делу, то дорогими путы делают всё-таки инвесторы, получающие дивиденды (с опционами получается дивидендный левередж).
Не все компании платят дивиденды. И откуда тогда skew в валютных опционах? Не-е-е, речь об асимметрии в рисках.

Про путы на акции/индексы можно сказать, что они дорогие, потому что весь мир в целом держит акции в лонг, соответственно, путы стоят дороже из-за высокого спроса на страховку от падения акций. Но это тоже примитивно :)
Eugene Logunov, а как же валютный swap?
bozon, Ок (хотя много где сейчас околонулевые ставки, так что...).

А опционы на товарные фьючи? Дело в convenience yield?
Eugene Logunov, про акции тоже важно знать, что их не так уж и просто купить в достаточном объёме (для поглощения или слияния компаний), текущие дивиденды уходят на второй план.
Eugene Logunov, 
За счёт конкуренции между покупателями, не получающими исполнений по 10, и различной жадности продавцов (кто-то готов продать по 100, а кто-то по 70) рано или поздно спреды сузятся. 
Так у покупателей тоже жадность. Если доход, на который они рассчитывают, нелинейный, то смысл заморачиваться со спредом?
Eugene Logunov, могу ошибаться, но кажется толстые хвосты сами по себе не должны приводить к улыбке.
Но и функция полезности вряд ли стала главным фактором.

Скорее пришло осознание, что стоимость репликации  опциона базовым активом в условиях реального рынка была существенно недооценена
wrmngr, 
могу ошибаться, но кажется толстые хвосты сами по себе не должны приводить к улыбке.
smart-lab.ru/blog/573501.php#comment10307606
Но и функция полезности вряд ли стала главным фактором.
Если посмотреть на широко распространенные подходы к оцениванию — то в основном народ пытается учитывать феномены типа leverage effect и динамики волатильности. Большинство из этих феноменов уводят нас из логнормального мира Б.-Ш. в какие-то другие распределения.

Полагаю, вариант поправки цен через utility мог бы работать какое-то время, пока не были разработаны более серьёзные модели. В наши дни, чтобы получить правильные цены в рамках предложенного подхода, имхо, в первую очередь нужно будет использовать более правильную риск-нейтральную плотность, чем в Б.-Ш., а utility скорее можно использовать как небольшую поправку к модели, которая почти попадает в рынок.
Eugene Logunov, продвинутые модели есть, но они невостребованны, все дески котируют производные в терминах волатильности, которая входит параметром именно в БШ, это удобно и вряд-ли это когда-то изменится. А все поправки к реальности включены в этот интегральный параметр. Поправок много разных, и полезность здесь имеет слишком малый вес, чтобы всерьез ее моделировать имхо

А мне думается, что причина возникновения улыбки волатильности это трендовость. Здесь мои скромные соображения по этому поводу:

https://smart-lab.ru/blog/573501.php

avatar

noHurry

noHurry, Спасибо, почитаю.
Eugene Logunov, Спасибо огромное за труд! Даже не так в статье, как в комментах Вы терпеливо разжевали многие явные для других, но для меня неизвестные нюансы. И хотя в связи с явно низкой квалификацией качественная работа в опционах — пока не моё, но потихоньку хотя бы какую-то базу для понимания сути такие ветки очень помогают стрОить.
 Всем спасибо и профита!
Когда автор сделает ЛЧИ ( первое место), тогда возьмемся за изучение этой галиматьи. А пока все это бред сивой кобылы!
    Есть очень простая, красивая и универсальная формула  хода цены акции  у(х)= а*х+b, надо лишь умно подбирать коэффициенты а и b /   Этого достаточно, чтобы жить безбедно.  

Silent Hamster, Подобные высеры лучше оставлять при себе
Eugene Logunov, на мой субъективный взгляд, подобные умоизречения делают в основном душевные нищеброды. Не стоит обращать на них внимание, пусть и дальше живут «безбедно»:))
alfatest, А ну как покупатели-по-10 договорятся держать 10-11? :)
alfatest, При этом Вы должны как-то решить проблему, что будете делать, когда Вам нальют офигенного размера лонг по цене 99. И с вероятностью 99% этот лонг полностью сгорит.
alfatest, 
плевал я на сайз!!! На крайняк ( в самом ужасном случае, я БА вытяну туда, куда надо мне и потом)
все таки ch5oh дело говорит. Если вы договоритесь держать цену, как только чуть моргнете на отклонении, а вы это сделаете точно, я вам туда налью от души. И тяните потом рынок куда хотите, во что сложновато поверить. =)) Или волу в стакане взвинчиваейте своими заявками. =))
alfatest, через БА? =) тогда удачи, если так, завидоваю вам
Да, давно в нашей песочнице опционщиков не куканили. Проросла трава сквозь асфальт. :-)
Евгений Петров, 6 ноября 2019.
ch5oh, пропустил этот момент, не было на смартлабе больших криков. Профи что ли нагрели… Они-то ребята с опытом, тихие.
А на каком движении народ влетел?
Очень хорошая, полезная и нужная статья. Большое внимание использованию функции полезности при оценке различных активов уделено в  книге John Cochrane  «Asset pricing» https://www.amazon.com/Asset-Pricing-John-H-Cochrane/dp/0691121370

....все тэги
UPDONW