Операция "Деамериканизация"

(Эта статья не про радикальные способы борьбы с влиянием США в различных сферах, а про опционы. И она не рекомендуется к прочтению лицам с непереносимостью формул.)

Введение

Обращали внимание на то, что многие биржевые опционы являются опционами американского типа? Опционы на фьючерс на индекс РТС, опционы на E-mini S&P 500, опционы на Amazon, etc.

Задумывались над тем, что получится, если считать подразумеваемую волатильность из цен таких опционов с использованием формулы Блэка-Шоулза? Если нет — то самое время задуматься, ведь формула Блэка-Шоулза работает для опционов европейского типа. Опционы американского типа обычно стоят дороже опционов европейского типа, т.е. вы рискуете получить завышенную оценку подразумеваемой волатильности. Необходимость в ценах опционов европейского типа возникает и в других задачах, например, при расчёте подразумеваемой плотности вероятности цены, заложенной в стоимости опционов.

Напомню в чём разница:
— Опцион европейского типа можно исполнить в дату истечения опциона (expiry date);
— Опцион американского типа можно исполнить в любую дату не позже даты истечения опциона.

Математически эта разница выражается в том, что для получения цен опционов нужно решать совершенно разные задачи:
— для опционов европейского типа;
— для опционов американского типа.

Здесь  — контрактная функция (выплата в момент исполнения опциона), которая для опциона call со страйком K имеет вид , а для опциона put — .

Если вы не очень понимаете все эти формулы, но имеете сильное желание разобраться — рекомендую почитать книгу Томаса Бьорка (главы 2 и 7).

«Деамериканизация» опционов

Существует весьма простая (и не очень известная) процедура, позволяющая вычислить цены опционов европейского типа, соответствующие наблюдаемым на рынке ценам опционов американского типа.

В общих чертах алгоритм следующий:
1. Берём какую-нибудь модель, которая позволяет относительно легко оценивать как европейские, так и американские опционы, исходя из одного и того же набора параметров;
2. Подгоняем параметры модели к цене некоторого опциона американского типа со страйком K и временем до экспирации T;
3. Взяв за основу подогнанные параметры, а также текущую цену базового актива S и безрисковую ставку r, находим цену соответствующего опциона европейского типа с тем же самым страйком K и временем до экспирации T.

В качестве способа оценивания опционов удобно брать способы на основе биномиальных деревьев. Менее удобно, более затратно в вычислительном плане, но всё же возможно — способы на основе метода конечных разностей для решения уравнения теплопроводности. (Рассматривать детали способов оценивания опционов при помощи биномиальных деревьев и метода конечных разностей я не буду, т.к. эта тема раскрыта в большом количестве книг.)

В качестве подгоняемого параметра в простейшем виде обоих вышеуказанных случаев выступает подразумеваемая волатильность. Для сложных моделей может выступать и что-то другое, но подумайте хорошенько — нужны ли вам усложнения?

Интересны подробности и нюансы? Вот пара статей про использование биномиальных деревьев для деамериканизации опционов:
1. Olena Burkovska, Maximilian Gaß, Kathrin Glau, Mirco Mahlstedt, Wim Schoutens, Barbara Wohlmuth «Calibration to American Options: Numerical Investigation of the de-Americanization»;
2. Mirco Mahlstedt «Complexity Reduction for Option Pricing. Parametric Problems and Methodological Risk».

Реализация на языке R

Чтобы сэкономить время и не травмировать мозг случайно открывших статью смартлабовцев кучей ещё более страшных формул — воспользуемся пакетом fOptions, который, помимо всего прочего, содержит функции для оценивания как европейских, так и американских опционов при помощи биномиальных деревьев.

Установка пакета производится командой .

Сразу перейдём к самому интересному:

Представленная функция предназначена для деамериканизации цены одного опциона. Для оценивания опционов может использоваться одна из трёх моделей оценивания опционов на основе биномиальных деревьев, реализованных в пакете fOptions. Подробно на этих моделях я останавливаться не буду по той же причине, по которой не разбираю в этой статье биномиальные деревья и метод конечных разностей: эти модели очень подробно описаны в литературе. И ещё: я тестировал работоспособность функции только для модели Кокса-Росса-Рубинштейна (CRR).

Начинается функция очень скучно — с проверки и преобразования параметров.

Далее производится калибровка волатильности, используемой для оценивания американского опциона с использованием биномиального дерева. В качестве начальной догадки выступает оценка подразумеваемой волатильности, полученная с использованием модели Блэка-Шоулза. Эта эвристика хорошо работает на практике.

После завершения калибровки производится проверка её успешности. Подразумеваемая волатильность может плохо калиброваться, если используется слишком мало шагов в биномиальном дереве, либо если используется плохая стартовая догадка (проверено: изначально моя реализация использовала sigma.guess<-1).

И, наконец, функция возвращает цену европейского опциона, оцененного на основе того же биномиального дерева, которое было откалибровано к цене американского опциона.

Тренируемся на Тесле

Я взял некий срез цен опционов на TSLA и сосчитал улыбки волатильности:
1. Для опционов вне денег (путы со страйками ниже форвардной цены, коллы со страйками выше форвардной цены);
2. Для опционов в деньгах (путы со страйками выше форвардной цены, коллы со страйками ниже форвардной цены).

При этом я сделал расчёты подразумеваемой волатильности двумя способами:
1. Напрямую из цен американских опционов, разрешив формулу Блэка-Шоулза относительно волатильности (черная линия на графиках);
2. Предварительно проведя процедуру деамериканизации цен опционов (красная линия на графиках).

Кстати, вот код для расчёта подразумеваемой волатильности с использованием пакета fOptions:

Улыбка волатильности для опционов вне денег:

Улыбка волатильности для опционов в деньгах:

Как видим, для опционов вне денег деамериканизация не повлияла заметно на оценки подразумеваемой волатильности — линии просто наложились друг на друга.

А вот для опционов в деньгах ситуация интереснее. Подразумеваемая волатильность для коллов в деньгах не отличается, а для путов в деньгах — есть заметная разница. Кстати, если вас это удивило — посмотрите, например, в книге Robert C.Merton «Theory of Rational Option Pricing» почему американские call опционы никогда не оптимально исполнять до даты истечения опциона.

Посмотрим поближе на относительную разницу между подразумеваемыми волатильностями для опционов в деньгах:

Заключение

— В статье рассмотрена процедура, позволяющая вычислить цены опционов европейского типа, соответствующие наблюдаемым на рынке ценам опционов американского типа.
— Представлена реализация этой процедуры на языке R с использованием пакета fOptions.
— В качестве иллюстрации представлены результаты применения процедуры к опционам на TSLA.

Подразумеваемая волатильность, сосчитанная из деамериканизированной цены, будет более корректна, чем подразумеваемая волатильность, сосчитанная напрямую из цены исходного американского опциона с использованием формулы Блэка-Шоулза, т.к. в такую оценку не будет непонятно как входить премия за риск досрочного исполнения американского опциона. Хотя конкретно для подразумеваемой волатильности можно особо не напрягаться и взять откалиброванное значение для биномиального дерева (при достаточно большом количестве шагов для европейских опционов такие модели эквивалентны модели Блэка-Шоулза). Наибольшая польза от всей этой процедуры будет в тех расчётах, где вам для вычислений явно требуются цены европейских опционов.

Код функций можно скачать тут. Он немножко медленно работает, но если вы перепишете расчёт цен по биномиальной модели на C++ (с использованием пакетов Rcpp и RcppArmadillo) — он будет заметно быстрее.

Также обратите внимание на параметры r и b, которые передаются в функции из пакета fOptions: указанные значения корректны для опционов на акции без дивидендов. Как реализовать другие варианты (опционы на акции с дивидендами, опционы на фьючерсы и т.д.) — см. справку командой "?fOptions::GBSOption".