Блог им. elogunov

Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках

Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках
По мотивам https://smart-lab.ru/blog/532192.php и https://smart-lab.ru/blog/532275.php

Введение

Вашему вниманию предлагается способ экстраполяции цен опционов типа Call в дальних страйках, в основе которого лежит безмодельная оценка подразумеваемой волатильности (model-free implied volatility, MFIV). Идея, предложенная в статье, частично реализована на языке R и частично проверена на рыночных данных.

Для начала разберемся с подразумеваемой волатильностью. Стоимость опциона может быть найдена с использованием модели Блэка-Шоулза, в рамках которой она является функцией стоимости базового актива, страйка, волатильности базового актива, безрисковой ставки и времени до экспирации: Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках . Однако фактически наблюдаемые цены опционов Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках обычно оказываются выше значений, рассчитанных с использованием модели Блэка-Шоулза. Распространённым способом решения этой проблемы является использование разных значений волатильности для разных страйков. Такая волатильность называется подразумеваемой и может быть получена путём численного решения уравнения Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках относительно параметра Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках: Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках.

Хотя такое определение подразумеваемой волатильности является языком, на котором говорят многие опционные трейдеры, у него есть очевидный недостаток: в основе лежит модель Блэка-Шоулза, которая не соответствует действительности и потому требует костыля в виде подразумеваемой волатильности, которая сама по себе может сложным образом зависеть от параметров Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках, образуя так называемую «улыбку» или даже (если учитывать зависимость от времени до экспирации опционов) «поверхность подразумеваемой волатильности».

Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности

Существует способ нахождения подразумеваемой волатильности, в основе которого не лежат никакие модели оценки стоимости опционов.

В статье Mark Britten-Jones, Anthony Neuberger «Option Prices, Implied Price Processes, and Stochastic Volatility» (The Journal of Finance, Vol. 55, No. 2 (Apr., 2000), pp. 839-866) показано, что матожидание суммы квадратов доходностей базового актива между датами Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках и Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках может быть найдено из цен опционов, с экспирациями в эти даты:
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках.

Эта формула исходит из нулевой безрисковой ставки, однако опцион со страйком Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках на актив стоимостью Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках эквивалентен опциону на базовый актив стоимостью Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках со страйком Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках: Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках.

Таким образом, с учётом безрисковой ставки формула приобретает вид:
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках.

Сделаем замену Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках, тогда можно будет обойтись одной серией опционов:
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках

Посмотрим внимательнее на подынтегральное выражение: числитель убывает с ростом страйка (при нулевой безрисковой ставке в нём будет стоять разница рыночной стоимости опциона и его внутренней стоимости); знаменатель квадратично возрастает с ростом страйка. Т.е. всё подынтегральное выражение быстро убывает и этот несобственный интеграл первого рода должен сходиться. Строго доказывать это я, конечно же, не буду :) Главное, что нам нужно:
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках.

Тогда безмодельная оценка подразумеваемой волатильности может быть вычислена по формуле:
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках.
Интеграл можно вычислить, например, методом трапеций:
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках;

Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках, где
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках.

Тренируемся на кошках Тесле

Возьмём цены всех опционов на Теслу с экспирацией 17 мая 2019 года: pastebin.com/SDuNiBxf

Стоимость базового актива в соответствующий момент времени равнялась $273.35; безрисковую ставку положим равной 2.59213%; время до экспирации — (38 / 365) года.

Выбор этой серии опционов обусловлен удобством — минимальный страйк равен 10, что очень кстати с учётом того, что нижний предел интегрирования равен нулю.

Загрузим данные:
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках
Построим график цен коллов:
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках
Напишем функцию для расчёта безмодельной оценки подразумеваемой волатильности (далее — MFIV), исходя из стоимости базового актива, набора страйков, набора цен опционов, безрисковой ставки и времени до экспирации опционов:
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках
Внимание! Это упрощенная в иллюстративных целях реализация, которая для получения цен опционов на страйках Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках использует линейную интерполяцию. Так лучше не делать. Используйте на свой страх и риск :)

Посмотрим как изменяется MFIV по мере увеличения максимального страйка, до которого производится интегрирование:
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках
Видим, что интегрирование до страйка всего на 11% выше цены базового актива уже даёт близкую оценку к той, что получается при интегрировании по всем доступным страйкам.

Посмотрим внимательнее выше 300-ого страйка:
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках
Разница между значением MFIV, сосчитанным по подмножеству страйков, и некоторым предельным значением экспоненциально сокращается с ростом максимального страйка, до которого производится интегрирование. Красная линия представляет собой простую аппроксимацию MFIV как функции от страйка, до которого производится интегрирование:
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках
Параметры Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках представляют собой некий «опорный» страйк, выше которого мы ожидаем экспоненциального стремления MFIV к некоторой константе, а также значение MFIV при расчёте до этого страйка включительно.
Параметры Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках представляют собой скорость сходимости MFIV к некоторому предельному значению и предельное значение MFIV, соответственно. Всё что нужно для экстраполяции — угадать эту пару...

Экстраполяция

Вспомним использованный способ численного интегрирования:
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках;
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках.
Добавим один страйк к использованному множеству страйков, перейдём в термины дисперсий и выразим новую оценку через предыдущую:
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках;
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках.
Выразим подынтегральное выражение Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках, зависящее от стоимости колла, близкого к добавленному страйку:
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках,
и, наконец, выразим стоимость соответствующего колла:
Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках.

Это выражение позволяет экстраполировать цены дальних коллов. Начав с пары Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках(«опорный» страйк + MFIV при расчёте до него включительно) и экстраполировав MFIV на следующий страйк в соответствии с Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках — получим цену опциона недалеко от нужного нам страйка. (Это заметный минус такого подхода — цену на нужный страйк придётся интерполировать.) Повторив процедуру несколько раз  — получим экстраполированные значения для более дальних страйков.

Итого

— Рассмотрен широко известный способ безмодельной оценки подразумеваемой волатильности (MFIV);
— Представлен фрагмент кода, выполняющий расчет MFIV;
— На примере реальных рыночных данных продемонстрировано как зависит MFIV от верхнего предела интегрирования; предложена простая модель этой зависимости;
— Предложен способ экстраполяции цен опционов на основе MFIV и модели зависимости MFIV от верхнего предела интегрирования.

 

★18 | ₽ 52
24 комментария

Проблема состоит в том, что Вы заменили Модель на использование рыночных котировок в качестве источника Истины.



Также не очень понятно за что шла битва? Вы получили способ строить улыбку волатильности более сложным способом, чем инвертирование формулы БШ? (Кстати, итоговая улыбка так и не была нарисована...)


=) В целом очень приятно почитать вдумчивого автора. Особенно респект за фрагменты кода на R.

avatar
ch5oh, 
Проблема состоит в том, что Вы заменили Модель на использование рыночных котировок в качестве источника Истины.
К ним разумно привязаться, чтобы не пытаться им противоречить. Если в наблюдаемых ценах что-то не устраивает — нужно корректировать их, прежде чем к ним привязываться.
Также не очень понятно за что шла битва?
Назовём это попыткой показать возможность экстраполяции цен дальних опционов (зачем это может быть нужно — вроде бы очевидно) из очень небольшого количества дополнительных параметров. Конкретно в этом случае нужно два параметра для простой функции, всё остальное можно взять из рынка.
В случае нулевой безрисковой ставки выписанные формулы сильно упрощаются; в случае ненулевой — увы, надо ещё как-то интерполировать цены из страйков K в страйки K*exp(r*T) и обратно.
Вы получили способ строить улыбку волатильности более сложным способом, чем инвертирование формулы БШ?
Можно сказать и так. Задали края улыбки без БШ и моделирования самой улыбки.
avatar
Eugene Logunov, получается замкнутый круг: чтобы понять, что нас что-то не устраивает, нужно построить «хорошую» улыбку. Но чтобы построить улыбку — Вам нужны рыночные цены. Ручное редактирование цен опционов — это муторно и вводит искажения неизвестной природы.
avatar
ch5oh, Так-то можно и без модели улыбки чего-нибудь поправить, исключительно по сериям IV для всех страйков. Если вы любите теорему Байеса и сопряженные априорные распределения / слышали про метод Блэка-Литтермана / читали статью Leonardo M. Nogueira «Updating the yield curve to analyst's views» (2008) — то это покажется очевидной задачей.

Сводить всё к улыбке волатильности или не сводить — философский вопрос. https://smart-lab.ru/blog/526795.php -  с одной стороны можно рассматривать как модель, в которую улыбку просто подставили, с другой стороны — автор настаивает, что никакой улыбки нет и она не нужна.

p.s. Может нам вообще нужна не улыбка волатильности, а форма потенциальной ямы. Обратная задача рассеяния и всё такое.
avatar

Eugene Logunov, есть стандартное представление серии опционов — улыбка. Можете считать теорцены как угодно, но в конце будьте любезны нарисовать улыбку. Вам же не сложно? А собеседнику будет легче понять суть, если она (суть) представлена в привычной ему форме.

А считать и правда можно как угодно. Хоть монтекарлить, чем черт не шутит.

avatar
ch5oh, Получается что-то такое (в этой модификации интерполяция между страйками уже не требуется):

Объясняется это тем, что вот эта функция 

пересекает фактическую кривую в двух точках, а чтобы всё было как надо (т.е. IV не загибалась вниз) — эта функция должна являться минорантой для фактических значений MFIV(K_max) выше K_0.

avatar

Eugene Logunov, если красная — итог всех этих упражнений с ценами опционов, то что-то идет не так.

 

По замыслу эта функция должна была хорошо апроксимировать край распределения. но мы этого не видим.

 

=) Видите как полезно переписать цены в улыбку? Сразу все видно. Все проблемы, нестыковки и т.д.

avatar
ch5oh, В целом-то результат ожидаемый, т.к. опционы глубоко вне денег входят в MFIV с очень маленьким весом, соответственно, небольшая ошибка оценки значения интеграла даёт большую ошибку в оценке стоимости опционов. Но попробовать стоило :) В итоге из полезного остатка — про ещё один способ расчёта IV рассказал... 
=) Видите как полезно переписать цены в улыбку? Сразу все видно. Все проблемы, нестыковки и т.д.
Не спорю. Правда эту проблему и по ценам видно, без всякой IV. Но вместо того, чтобы в 6 утра добивать идею — я всё же предпочитаю поспать.
p.s. Как думаете, если бы я сначала досконально проверил эту идею и нашел её потенциально полезной — я бы стал публиковать статью? :)
avatar
Eugene Logunov, =) верю в Вас. Мир не без добрых людей. Я же пишу полезные посты, а не прячу все ноухау под подушку.
avatar
Однако фактически наблюдаемые цены опционов Безмодельная оценка подразумеваемой волатильности и экстраполяция цен в дальних страйках обычно оказываются выше значений, рассчитанных с использованием модели Блэка-Шоулза.

А кто-нибудь пробовал на исторических данных посмотреть эту разницу? Она константа или имеет свою волатильность?
avatar
Dmitryy, константой она быть не может. Все течет, все изменяется.
avatar
ch5oh, согласен, но может быть дисперсия не велика, скажем 10% от стоимости опциона. Это и интересно узнать)
avatar
Dmitryy, 10% :)
Вы это можете сами легко проверить, взяв spx и Vix. Хотя могу вам сразу назвать ~ +- 60-70% к Vix. А с учётом улыбки можно ещё как минимум фактор 2 добавить. И это только волатильность, а как меняются цены опционов в зависимости от изменения волы наглядно показал коллега FZF 
https://smart-lab.ru/blog/531251.php
avatar
noHurry, на деле получается, что цены опционов практически всегда стоят дороже их теоретической цены. Т.е. покупатели платят за страховку больше её реальной стоимости. При таком положении дел всегда выгоднее быть продавцом, хеджируя продажу базовым активом, т.к. на большом горизонте даже в неблагоприятной ситуации получаешь в карман эту самую переоценку стоимости.
avatar
Dmitryy, вот как раз это «практически всегда» — один из моментов, который заставит вас работать по этой стратегии без плеча, а то ещё и с запасом и, в результате вы в лучшем случае будете иметь ставку по депозиту. 
avatar
noHurry, =) чуть больше.
avatar
ch5oh, ну и соответственно с просадкой «чуть больше». Какое у вас соотношение прибыль/просадка? Что-то мне подсказывает, что где-то 1/1. 
avatar

noHurry, конечно, даже с просадкой все равно чуть больше.

Вот, кстати, яркий пример.

avatar
Еch5oh, да пример действительно яркий. Интересно бы ещё знать с каким плечом? На коротком интервале времени с приличным плечом можно такое показать, но я высказался в контексте высказывания Dmitryy 
всегда выгоднее быть продавцом, хеджируя продажу базовым активом, т.к. на большом горизонте даже в неблагоприятной ситуации получаешь в карман эту самую переоценку стоимости.
 т.е. быть постоянно в рынке.
avatar
noHurry, черт знает. Скорее всего первичная загрузка как обычно процентов 30 от ГО.

Но примечательно что ребята декларируют продажу опционов как хедж для основного портфеля трендовых роботов (как и должно быть по логике). Но при этом умудряются увернуться от всех рыночных нежданчиков.
avatar
ch5oh, ну так это тогда скорее вообще не ДХ в нашем контексте. Скорее всего прибль делают роботы, а продажа опционов сглаживает эквити во флэте. Т. к.  если у трендовой системы забрать дельту, то результат будет скорее обратным. 
avatar
noHurry, насколько понял декларацию, основная работа фьючами идет на каком-то другом счете (и понятно он не 2 млн, а больше). В ренкинг вынесена отдельно работа с опционами (+ДХ) именно чтобы продемонстрировать круть в опционах и показать, что это не так страшно как пугают.
avatar
Dmitryy, 
Т.е. покупатели платят за страховку больше её реальной стоимостью.
Да. IV в среднем выше RV. Это практически универсальный феномен, наблюдаемый на разных рынках и разных классах активов. Но бывает и обратная ситуация — и в такие моменты продавцам волатильности может быть больно.
на деле получается, что цены опционов практически всегда стоят дороже их теоретической цены
Смотря что вы называете теоретической ценой. Продавать опционы потому, что теоретическая цена по БШ с постоянной волатильностью оказывается ниже рыночной — так себе идея. Если у вас есть своя оценка теоретической цены с некоторой улыбкой волатильности — уже лучше.

avatar
Eugene Logunov, 
Но бывает и обратная ситуация — и в такие моменты продавцам волатильности может быть больно.

Ну вот для этого как раз мы эту всю математику и разбираем, чтобы понимать когда и как действовать. Ну и конечно уметь моделировать ситуации.
avatar

теги блога Eugene Logunov

....все тэги



UPDONW