Равновесие Нэша и закон арксинуса для игры в рулетку. В продолжение беседы с Мальчиком ББ

Вообще в сущности равновесие Нэша предполагает, что каждый игрок выбирает оптимальную стратегию, при которой ни один из них не может в одностороннем порядке улучшить свой результат, если другие игроки не меняют своих стратегий. 
У нас существуют рулетки с зеро и без зеро (европейский вариант более щадящий). 

Найти равновесие Нэша невозможно что для одной рулетки, что для другой. Далее, в самой сущности, отсутствует доминирующая стратегия: ставка на любое отдельное число, цвет или диапазон не является оптимальной стратегией, поскольку все исходы, включая зеро, равновероятны. Ну и за равновероятностью следит любой казино, т.е. настоящая честная рулетка, это именно равновероятностное событие на каждый сектор, отсюда невозможно найти доминирующую стратегию игры и посчитать равновесие. 

Смешанных стратегий тоже нет — игрок не может улучшить свой результат, случайно выбирая между различными ставками.

Казино всегда будет иметь преимущество над игроками в долгосрочной перспективе. Игроки не могут найти оптимальную стратегию, которая бы гарантировала им выигрыш.

___

Про закон арксинуса в игре в рулетку. 

Я предлагаю разобрать геометрический смысл закон арксинуса для игры в рулетку. 
Что для этого можно сделать — взять единичную окружность и откладывать например угол. 

Давайте представим, что игрок делает ставку в рулетке, где вероятность выигрыша или проигрыша равна 50/50, именно эту задачу поставил Мальчик ББ.

Согласно закону арксинуса, вероятность того, что игрок окажется в определенном диапазоне выигрышей или проигрышей, пропорциональна величине соответствующего угла на окружности. Далее, чем больше угол, тем выше вероятность попадания в этот диапазон.

 Графически это распределение вероятностей будет иметь U-образную форму.

Максимумы вероятности будут соответствовать углам, близким к 0 градусов (100% проигрыш) и 180 градусов (100% выигрыш). Минимум вероятности будет в районе 90градусов (50% выигрыш, 50% проигрыш). А вот дальше уже наступает св-во аддитивности меры Жордана)))) 

 

Отсюда долгосрочное равновесие будет иметь совершенно иной вид угла наклона!

В долгосрочной перспективе игрок будет чаще всего находиться вблизи 90 градусов (нулевой результат), так как этот диапазон имеет максимальную вероятность.

Крайние значения полного выигрыша или проигрыша будут встречаться крайне редко. Полагаю распределение будет иметь вид обычного Гаусса с модой 0 и без перекосов вообще, если берем серию из 1 млн спинов, это если казино следит за равновероятностью для каждого сектора. 
__
Отсюда вывод, играть в рулетку нет никакого смысла для игрока (который хочет посчитать равновесие Нэша и найти преимущество для себя), поскольку не существует такой стратегии, которая бы позволила ему выиграть долгосрочно, даже если не будет зеро и комиссий за игру, а сама рулетка будет «честной». Закон арксинуса лишь демонстрирует, что в рулетке, как и в других играх со случайными исходами, игроки в долгосрочной перспективе будут в основном находиться вблизи нулевого результата, а экстремальные выигрыши или проигрыши будут очень редкими событиями.