<HELP> for explanation

Блог им. vlad1024

Статистические модели трендов. Смещение среднего. (Дополненное)

Попросили объяснить что такое персистентность без специальных терминов и как она связана с трендовостью рынка. Совсем, без терминов вряд ли получится, но если их минимизировать, достаточно понятия — плотности вероятности. 

Что такое плотность вероятности? Это функция интеграл интервала которой, дает нам вероятность попадания в этот интервал. Или в простейшем случаи, если мы рассматриваем ее эмпирическую оценку в виде гистограммы распределения это будет просто частота попадания в набор фиксированных интервалов. 
Для примера рассмотрим гистограмму нормального распределения.

Статистические модели трендов. Смещение среднего. (Дополненное) 

Собственно что мы видим — разбиение на набор фиксированных интервалов, затем подсчет попадания каждого значения в тот или иной интервал, который дает частоту. Если мы хотим посчитать частоту попадания в бОльший интервал например от 0 до 2, то нам необходимо сложить(проинтегрировать) частоту попадания во все маленькие интервалы внутри этого отрезка [0, 2]. Таким образом плотность вероятности дает возможность, зная интервал, получить вероятность попадания в него. Или если рассматривать на более «интуитивном» уровне — показывает какие значения выпадают более часто, а какие менее. В приведенном примере, наиболее часто выпадают значения вокруг нуля распределения и затем оно постепенно спадает. 

Если мы рассмотрим, распределение как набор значений расположенных во времени (привычные для трейдинга представления в виде графиков числовых рядов). То получим для все того же нормального(гауссового) распределения следующую картинку:
Статистические модели трендов. Смещение среднего. (Дополненное)

Как и ожидалось из гистограммы распределения, 95% значений находятся внутри интервала от -2 до +2, с центром в нуле. 

Каждый наверняка видел график случайного блуждания и этот на него мало похож. Разница в том, что для того чтобы получить случайное блуждание необходимо последовательно сложить эти значения. Или наоборот чтобы получить из случайного блуждания — распределение приращений, необходимо взять разность соседних значений. 

Таким образом мы подходим к первой простейшей модели тренда. Рассмотрим распределение приращений: 
Статистические модели трендов. Смещение среднего. (Дополненное)

которое практически на глаз не отличается от предыдущего, но среднее (центр) сдвинуто на +0.1. Теперь просуммируем значения распределений для первого случая с нулевым и положительным (+0.1) смещением среднего, таким образом получим два графика случайных блужданий. 

Первый, без смещения в мат ожидании приращений:
Статистические модели трендов. Смещение среднего. (Дополненное)

А второй, с «ничтожным» (ели разлечимым на графике распределения приращений) смещением(+0.1):
Статистические модели трендов. Смещение среднего. (Дополненное)

Разница, разительная, но на первом графике — заработать не возможно, а на втором вполне. 

В данном случае мы рассматриваем, зависимость(смещение в мат. ожидании), которая не изменяется во времени, то есть стационарна, 0 для всего графика, или +0.1 другого. Теперь представим что эти значения сами изменяются во времени, и представляют к примеру кусочно-постоянную функцию. То есть набор констант, из которого мы выбираем значение, действующее на каком-то интервале. Соответственно если это значение положительное возникает «растущий кусок тренда», если отрицательное — «падающий». А сам график «сшит» из таких интервалов с  постоянными значениями. Таким образом мы получим приближенную к реальности простейшую динамическую модель тренда. У которое стационарное среднее приращений равняется 0, но при этом существуют интервалы на которых оно отклоняется от 0 как в положительную так и отрицательную сторону. При этом в среднем количество таких участков «уравновешивается» и мы получаем среднее всех приращений близким к нулю.

Или если мы будем рассматривать среднее, как функцию времени, то для кусочно-постоянной модели, получим следующую картинку:
Статистические модели трендов. Смещение среднего. (Дополненное)
Или ввиде формулы, P_i+1 = P_i + A_k + N(0, 1)  , где A_k это значение среднего на данном временном интервале(t_k, t_k+1), N(0, 1) стандартизированное нормальное распределение, а Pi это получившийся стохастический процесс. 

Для примера рассмотрим реализацию такого стохастического процесса, при t_k = (0, 100, 200, 400, 450, 600, 650) и A_k = (+0.1, -0.1, +0.05, +0.15, -0.2, -0.05), что примерно соответствует представленному выше графику зависимости от времени. 

Первая реализация:
Статистические модели трендов. Смещение среднего. (Дополненное)

Вторая реализация:
Статистические модели трендов. Смещение среднего. (Дополненное)

Как видно они мало похожи, и в них гораздо менее очевидно наличие трендов чем в простейшем стационарном случаи, но тем не менее они там присутствуют, а значит на таком процессе возможно заработать.

В следующей серии, мы поговорим о еще одной модели тренда, которая связана с персистентностью, или более конкретно, мы будем понимать под персистентностью — авто-регрессивность числового ряда.
 

vlad1024, такие модели только для упражнений в стох.анализе потребны.

Временной ряд на финансовом рынке — не Винеровский процесс.
avatar

Shredder

Shredder, а где здесь винеровский процесс? ряд с кусочно-постоянным смещеним среднего, к примеру, во первых не стационарен, во вторых не винеровский. Просто я на простейших примерах показываю как прийти к этой мысли, так как топики статистической направленности тут вообще не особо любят, да и попросили объяснить «на пальцах».
vlad1024, тогда плюс :)) Здесь любят топики, где направленность рукой указывают.

Может тогда возьмете на себя труд объяснить популярно публике, что есть Винеровский процессс… А вдруг кто-то заинтересуется как премии по Black-Sholes считают )
Shredder, да я вроде бы и так насколько мог объяснил что такое случайное блуждание (интеграл белого шума). А винеровский процесс получается из случайного блуждания, как предел перехода к шагу по времени стремящемуся к нулю.
Гауссовость тут или какое-то другое распределение приращений — не важно, главное в этой модели тренда, что происходит динамическое смещение центра(мат.ожидания/медианы) распределения приращений от нуля. Собственно чем занимается уважаемый А. Г. и зарабатывает деньги на рынке, это исследование оптимальных оценок в рамках данных моделей, более подробно можно почитать у него на сайте.
Shredder, а какой, на Ваш взгляд?

автору +
onemorefake, Он, во первых, не случайный, а во вторых — нормальное распределение вероятности на нем не работает (есть стандартные методы для определения белого шума — они почти всегда дают отрицательный результат)
Shredder, случайный/неслучайный это, скажем так, вопрос скорее религии :) суть от этого не меняется.
То что гаусс не работает оно и понятно — на нем на дистанции и заработать нельзя.
onemorefake, нет — это не религия. Временной ряд — либо белый шум либо — нет.
Swan, «В следующей серии, мы поговорим о еще одной модели тренда, которая связана с персистентностью, или более конкретно, мы будем понимать под персистентностью — авто-регрессивность числового ряда.»

Просто лень было все в одном посте писать, но решил начать с азов. )
Swan, нормальное распределение вероятности — хорошая модель для технических приложений. Систем массового обслуживания, например. На рынке это не работает.
Swan, Стартовать можно. Но нужно заранее уяснить, что системы массового обслуживания — это не финансовые рынки. Самый большой натурный эксперимент который был поставлен на эту тему LTCM. После его банкротства, наиболее продвинутая часть публики — это уяснила четко. А остальным популярно растолковали в 2008 когда долбанула деривативная пирамида MBS…
Swan, дифференцируешь временной ряд (что бы тренд убрать) и любой продвинутый софт. Хоть тот же SPSS применяешь
Shredder, просто так дифференциировать зашумленный ряд данных нельзя) получится такой бред, что дальше работать с этим набором цифр будет нельзя.
Kostya_gro, Не обязательно тупо дифференцировать, можно другим способом тренд убрать…
автору — а в виде формулы нельзя предложенную модель описать?
avatar

onemorefake

onemorefake, можно и в виде формулы, добавил картинку с описанием.
vlad1024, спасибо!

собственно пример торговли по Горчакову в чистом виде :)
onemorefake, ну до торговле тут далеко, надо еще построить оптимальные критерии определения точек изменения тренда, учесть не стационарность волатильности и т.д. чем А.Г. и занимается. А так да, модель достаточно очевидная, но в то же время достаточно «похожа на реальность». А то тут меня уже начали обвинять, что ни к чему кроме заданий по стохастическому анализу, «такая статистика» не пригодна. )
vlad1024, да никто Вас не обвиняет… Просто эту дистанцию уже столько народу плавало… Не втыкается серьёзный Теорвер в трейдинг напрямую никак ((
Shredder,

В том то и дело, что либо случайность и теорвер (это неотделимо), либо цены предсказуемы точно по прошлым значениям (просто мы не знаем этого «закона»).

А из теорвера все потенциально просто:- надо искать статзависимость прошлого и будущих приращений цен.

Только одна «незадача» — классический теорвер из вузовских учебников — это теория независимых случайных величин и их модификаций на разного рода процессы (мартингал — это как одна из модификаций независимости).

А мы решаем задачу «перпендикулярную» тому, чему учат в теорвере и тому, что активно развивалось. А зависимые выборки, не сводящиеся к независимому случаю при переходе от непрерывного времени к дискретному, — это «падчерица» фундаментального теорвера, так как общую и красивую теорию на них не построишь и докторскую не защитишь.
не, влад… ты конечно очень умный )) но объяснять по-простому, без терминов — это явно не твоё))))
avatar

karapuz

karapuz, не… проще это уже будет в 10 раз больше текста и вообще не понятно о чем… тут надо приложить усилие над собой и хотябы прочитать википедию по непонятным словам. ))
vlad1024, да я читал))) не помогло)))))
я вот тут подумал, если цена движется с коэффициентом, равной какой то константе. то, думаю, высчитать этот К представляется возможным последовательным перебором периодов. Даже не периодов, а… кароче…
есть массив данных цены
1,2,3,4,5,4,4,3,2...., n
начинаем считать приращение с 1по n. Не нашли.
с 2 по n
с 3… с 4, с 5, с4, с4 по n.
правда толку не будет наверное, потому что как никак это история… свершившийся факт.
а вот для интересу можно, только вычислительные мощности нужны намного более серьезные, чем наши ПК :)
я кончено могу ошибаться. это лишь мое имхо после прочтения хорошего поста)
описанная модель насколько понимаю не соответствует реальному распределению цен. на долгосрочных графиках фондовых индексов смещение среднего есть. но там еще есть высокий пик и толстые хвосты. за топик +. ждем продолжения про персистентность!
avatar

Сергей

Сергей,

Если рассматривать значения смещения среднего и дисперсии, как процессы с «тяжелыми хвостами», одномерное распределение приведенного процесса тоже будет иметь «тяжелые хвосты».
А. Г., на приведенной диаграмме (нормального распределения со смещением среднего) вроде нет тяжелых хвостов?..
Сергей, тяжелые хвосты возникают из-за неоднородности интенсивности торгов на рынке, для этого достаточно модели стохастической волатильности, то есть динамически изменяющейся дисперсии. Самый широкий класс таких процессов — мартингаловский. Согласно теореме о репрезентации мартингала, любой такой процесс, можно представить как броуновское блуждание в неоднородном времени.
vlad1024, еще просьба: связывать все, что пишите со статистикой биржевых цен. примеры, аналогии и пр.
Сергей,

Де-факто я ответил на Ваш вопрос выше

smart-lab.ru/blog/43277.php#comment720985
Swan,

В том то и дело, глобальное среднее у такого процесса может быть нулевым, а на отрезках с одним и тем же сдвигом среднее произведений двух соседних приращений положительно (так как глобальное среднее нуль, то мы не вычитаем произведение средних)
Swan,

Ниже правильно vlad1024 сказал, что хвосты порождает неоднородность среднего и дисперсии. Мы имеем не нормальное распределение N(0,s), а распределение N(a,b*s), где а и b в свою очередь случайные величины и закон такого распределения при абсолютно непрерывных распределениях a и b уже будет интегралом от нормальной плотности n(a,b*s), умноженной на плотности a и b. А у этого интеграла при разных распределениях a и b могут быть «хвосты» любой тяжести.

Вообще эта модель интересна тем, что в ее рамках можно объяснить любую одномерную статистику от приращений цен. Но в этом и ее слабость — она ничего не объясняет, а лишь дает пути поиска статпреимущества.
Скажите, а можно расчитать среднее отклонение в текущий период времени. и как?
avatar

Kelvinoid

Kelvinoid, можно взять среднее внутри некоторого окна, тогда оно будет показывать оценку среднего за какой-то период.
vlad1024, а каким образом взять среднее? может есть софтина полезная для этого? =)

Только зарегистрированные и авторизованные пользователи могут оставлять комментарии.

Залогиниться

Зарегистрироваться
....все тэги
Регистрация
UP