<HELP> for explanation

Блог им. broker25

Толстые хвосты и эмпирические распределения

Финансовые рынки обладают известным свойством – толстые хвосты в распределении приращений актива. Обычно, для демонстрации эффекта сравнивают два графика дневной доходности – для исторического распределения цен и нормального. На рисунке ниже четко заметны выбросы в распределении доходности индекса вдалеке от центра. 
 
Толстые хвосты и эмпирические распределения

Часто можно услышать, как толстые хвосты назначают главной причиной возникновения улыбки волатильности. На недавно прошедшей НОК одним из наиболее интересных выступлений была презентация Виталия Курбаковского о причинах появления улыбки волатильности. Уважаемый мэтр строил улыбку на основе эмпирического распределения.
Проверим сами, как влияют толстые хвосты на форму улыбки. Построим модель движения фьючерса РТС на основе данных о ежедневной доходности close to close основной сессии. Возьмем ряд ежедневных приращений склеенного фьючерса с января 2010г. по февраль 2013г. Конечное значение цены близко к начальному, но, чтобы совсем исключить тренд, последнее значение цены фьючерса примем равным первому, а именно 157090 п. Период модели – 100 дней. Каждый день актив прыгает на величину, случайно выбранную из ряда прошлых значений. В конце траектории посчитаем стоимость опционов. Повторим опыт миллион раз. Усредним результаты каждого опыта и получим ожидаемую стоимость опционов в финальной точке. Она совпадает со справедливой стоимостью опционов в  начальной точке,  ведь ставка равна нулю. Результат моделирования в терминах волатильности представлен ниже
Толстые хвосты и эмпирические распределения

Откуда, по вашему мнению, на графике выше появилась улыбка? Из-за толстых хвостов! – наверняка скажут многие. Тогда, спрошу я, откуда же берется улыбка на рисунке ниже?
Толстые хвосты и эмпирические распределения
График построен не по эмпирическому распределению, а по нормальному, но с теми же параметрами, как и эмпирическое (матожидание и среднекв. отклонение). Параметры рассчитаны для нашего ряда логарифмов. Конечная цена фьючерса для эмпирического распределения определяется по формуле
Толстые хвосты и эмпирические распределения
где li –логарифм Ln( S(i)/S (i-1)), случайно выбранный из нашего ряда.Для нормального распределения меняем  li на ni
Толстые хвосты и эмпирические распределения
где ni – нормальная величина (0; ср.отклонение ряда li.)
Откуда же взялась улыбка там, где ее не должно быть?
Ответ в том, что, хотя нам казалось, что по построению мы исключили тренд, на самом деле положительный тренд возник. Ведь если цена непрерывно движется по броуновскому закону, как предполагается в модели БШ,
Толстые хвосты и эмпирические распределения
то c течением времени у логарифма цены возникает тренд 

Толстые хвосты и эмпирические распределения
То есть, матожидание Ln(S(T)) – Ln(S(0)) равно (4). А у нас, напомню, эмпирическое распределение выбрано из ряда, в котором начальная и конечная цены совпадают, и, как следствие, матожидание Ln(S(T)) – Ln(S(0)) равно нулю . Таким образом, в нашем опыте с точки зрения модели БШ актив движется с положительным трендом µ, равным σ* σ /2 (T-t). Тренд повлиял на стоимость опционов колл, причем прирост стоимости опционов дальних страйков из-за тренда оказался не менее сильным (а по факту даже большим), чем для ближних. Искажение цен опционов привело к возникновению улыбки. 
Замечу, что сам расчет цены опционов и их волатильности был некорректен. Если существует тренд, отличный от безрисковой ставки (которая для фьючерсов равна нулю), то инвестор не нейтрален к риску, ведь для риск-нейтрального инвестора все активы приносят один доход, равный безрисковой ставке. Если инвестор не риск-нейтрален, то считать стоимость опциона методом усреднения модельных терминальных цен нельзя, т.к. такой инвестор оценивает ценность прибыли и убытка по-разному. Внесем коррекцию, добавим тренд  -σ* σ /2 (T-t) к эмпирическому и нормальному распределениям и нарисуем соответствующие улыбки

Толстые хвосты и эмпирические распределения
Мы видим, что отличия в улыбках минимальны. Они объясняются случайной ошибкой  в рамках модели. Волатильность слева более чувствительна к ошибкам, поэтому размах колебаний выше. Очевидно, что толстые хвосты нашего эмпирического распределения никак не повлияли на изгиб улыбки на данном временном интервале. Замечу, что и  в случае нескорректированной на тренд модели, отличия между двумя улыбками также минимальны и объясняются случайными ошибками. 
Любопытно, что аналогичные выводы получаются, если использовать не эмпирическое, а другое распределение цен с толстыми хвостами, имеющее конечную дисперсию и матожидание. В частности, похожий опыт был когда-то поставлен мной для распределения Пирсона седьмого порядка с куртозисом, взятым из рыночного распределения. В этом случае улыбка также вырождается в прямую линию.
Причина отсутствия улыбки – Центральная Предельная Теорема, смысл которой состоит в том, что сумма независимых, одинаково распределенных случайных величин стремится в пределе к нормальному распределению. В нашем случае сумма величин li в формуле (1) дает величину, близкую к нормальной, в связи с большим периодом модели, равным ста шагам. Вопрос о меньшем количестве шагов модели будет рассмотрен в другой статье.
Эмпирическое распределение может быть построено и для приращений актива, которые не являются независимыми. В частности, в журнале ФиО n1-2 за 2009г. Израйлевичем и Цудикманом была представлена модель оценки опционов на основе доходности актива за периоды, равные времени до экспирации. Однако, применяя рассуждения, аналогичные изложенным выше, мы убедимся, что использование исторических рядов цен в общем случае приведет к возникновению тренда и искажению стоимости опционов в модели. Для более точной оценки модель должна быть скорректирована на тренд. 
Выводы:
1. Эмпирическое распределение для оценки стоимости опционов следует применять с коррекцией на тренд.
2. В модели ежедневных независимых приращений цен актива, построенной на основе исторических данных, улыбки волатильности не возникает при сроках до экспирации выше 100 дней.
Ссылки
график ежедневных доходностей S&P 500 взят с сайта
http://managed-futures-blog.attaincapital.com/
 

very good
avatar

dhong

Окейно !Senks
Так толком и не понял, откуда берется улыбка.

Я глубоко этим вопросом не занимался, но возможно стоит покопать в направлении оценок опционов под стохастической волатильностью или CEV-модели и т.д. Сейчас уже очень много понаридумывали альтернативных GBM процессов
avatar

q-trader

q-trader, ну допустим улыбки нет. К цене колла каждого страйка прибавьте одинаковое число, и улыбка появится. Но у нас прибавили на дальних страйках больше, чем на ближних. И эффект еще сильнее. А прибавка, тк из-за полож. тренда стоимость коллов стала выше. А касательно прочих моделей, это отдельный вопрос
Ну, да. На длинных горизонтах форма однодневного распределения утрачивает свою значимость, а основной эффект скошенности улыбки возникает из-за непостоянства волатильности и ее отрицательной коррелированности с фондовым активом. Собственно, поэтому крупняк до сих пор с удовольствием использует модель стохастической волатильности Хестона. Если прайсить 3-5-летний контракт, то пофиг, что приращения условно-гауссовские — главное, что основные черты волатильности ухвачены. Но на коротких сроках это все разваливается как раз из-за хвостов однодневных приращений…

Было бы интересно глянуть на аналогичные приведенным графики для 22 и 11 дней (месяц и полмесяца). 100 дней (4.5 месяца) — большой и довольно странный выбор срока. В первую очередь интересуют уже очищенные от тренда, так как иначе некорректно говорить об одной улыбке в принципе. Причем есть предложение рисовать улыбку в обе стороны от денег, поскольку форма в разные стороны разная.

Кстати, если вы нарисуете для 100 дней вправо тоже (но том же графике, что влево), то небольшой наклон, который угадывается глазами и сейчас (если выкинуть 2 крайних точки), может стать более заметным. Это к фразе: «Очевидно, что толстые хвосты нашего эмпирического распределения никак не повлияли на изгиб улыбки». Мне из того же графика видится, что повлияли, только несильно (а чего еще ждать от 4 с лишним месяцев?...)
Андрей Агапов, спасибо за коммент. Я рассудил, что если все сразу написать в одной статье, то будет плохо читабельно на этом ресурсе. К тому же это шаг к перфекционизму, что в моем случае обычно все портит. В след. статье напишу про близкие сроки и продлю улыбку направо. Предварительно могу сказать, что разваливается не из-за хвостов. Страховая премия, усиленная завышенным ощущением рисков для дешевых опционов — вот имхо в чем суть для коротких сроков. Вообще улыбка такая штука, что причин для нее множество. Поэтому я взялся сначала за хвост))) Пользуясь случаем, давно хотел вас спросить, что это за такая важная головоломная статья про улыбку, о которой вы говорили на предыдущей НОК
broker25,
То, что разбили на части — правильно. И читать целую «Войну и мир» никто не станет, и дискуссия в результате двух отдельных статьей выйдет плодотворнее и шире, чем после одного «трактата».
А вот ваши предварительные ощущения не мне кажутся верными, особенно для индексных опционов. Там где стоит жиденький маркет-мейкер и у кого-то появляются сильные желания сыграть направленно — там так может быть иногда (завышенные оценки опцоинов из-за заывашенных рисков). В Сбере и Газпроме, особенно одномесячном — запросто. А в индексе, на мой взгляд, маркет-мейкеров много, они довольно крепкие, так что там реально должна работать форма распределения + ожидания скачков волатильности (то есть, тоже негауссовосость мира, но в плане изменения волатильности). Если сумеете расчетами опровергнуть — будет интересно почитать.
О чем я говорил на 5-м НОКе 9 месяцев назад, уже не очень помню. Но скорее всего либо о статье Виталия Курбаковского в F&O, на которую у меня даже рабочей ссылки нет, поскольку к ней нельзя получить доступ по электронной подписке на сайте журнала. Я ниже написал Виталию, может, он где-нибудь обнародует формулы и их вывод еще раз.
Либо вот об этой статье:
users.ox.ac.uk/~ofrcinfo/file_links/mf_papers/2002mf04.pdf
Формулы цен опционов — (35) и (37) на стр. 26.
Каленкович, кстати, как-то упомянул, что он после разговора со мной полистал статью, понял, что потребуется очень много возиться, и решил идти своим путем. Так что не переоценивайте свои силы. Сами формулы — это еще страшно далеко от успешного трейдинга, и важно не зарыться с головой в математику и ее реализацию… Лучше взять что-то попроще, зато как следует «почувствовать» инструмент.
Андрей Агапов, спасибо за статью, посмотрю. Статья Виталия Курбаковского у меня тоже есть. Кстати, кому надо — пишите в Вестник Науфор, они мне ее бесплатно выслали.
Касательно формул и трейдинга, я согласен. Мои торговые модели пока не имеют отношения к теории, но мне все это интересно для лучшего понимания процессов.
Касательно опровергнуть — идея есть, может руки дойдут. Но, в любом случае я не отказываюсь от теории
broker25, Можете скинуть статью? «Вестник НАУФОР» No.11 2007 «Непостоянная волатильность»? Писал в науфор, не ответили.
Еще замечание, свою эмпирическую гистограмму я нормировал (вычел исторический тренд), мы ведь не знаем, будет ли он в будущем. В этом случае при построении IV как по эмпирическому, так и по нормальному распределениям, получим прямые
avatar

Kurbakovsky

Kurbakovsky, Спасибо за поддержку, Виталий! Я и написал-то статью из-за Вашего выступления, потому-что у меня тогда все смешалось и спуталось после него и нашего с Вами разговора после выступления. Приятно, что не соврал в статье)))
если это помогает зарабатывать — это очень круто!
avatar

Citizen

Черт, хотел отредактировать свой комментарий, а он удалился. Ладно, уже неважно. Broker25, теперь Вы меня зацепили, начинаю думать, можно ли играть на искажениях, вызванных “тяжелыми хвостами”. В общем случае нельзя. Но, рассмотрим такую модель.

Есть два случайных процесса — f1,f2. Оба геометрические броуновские, но с разными волатильностями. Первый (f1) с низкой волатильностью (S1) – соответствует спокойному рынку
Второй (f2), с высокой волатильностью (S2) – быстрому рынку.
Есть вероятность Alfa.
Моделируем процесс – на каждом шаге с вероятностью Alf берем приращение из f1, с вероятностью (1-Alfa) – из f2.
У такого композитного процесса 3 параметра (S1,S2,Alfa). При их соответствующем подборе на выходе получится гистограмма приращений, очень похожая на эмпирическую. Скорее всего, S1 будет близок к “фоновому” значению VIX (10-12%). S2 – (80-90%).
Самый интересный параметр – Alfa – вероятность того, что рынок останется в спокойном состоянии. Именно он определяет ожидания игроков и, видимо, хорошо коррелирован с индексом волатильности VIX.

Для опционов с дальними сроками экспирации ничего нового мы не получим. Прогноз Alf даст не больше, чем прогноз VIX. А вот для ближних опционов, при nDays < 10, Alfa будет влиять еще и на форму кривой IV (в отличие от VIX).

Дальше можно так
– за 10 дней до экспирации подбираем параметр Alfa, чтобы расчетная кривая IV наилучшим образом совпала с рыночной- назовем его Alfa-Imp
— прогнозируем Alfa на 10 дней вперед (Alfa-Prog). Здесь нужно учитывать фундаментальные факторы. Например, если до конца недели ожидается заседание FOMC, вероятность остаться в “медленном” рынка становится близкой к 0. Если никаких событий не ожидается и общий фон спокойный – вероятнее всего, что и рынок останется спокойным – Alfa около 1. На срок до 10 дней такой прогноз вполне возможен.
— Рассчитываем теоретические цены опционов по Alfa-Prog – сравниваем с рыночными.

Наибольшая разница в ценах, вызванная неравенством Alfa-Imp и Alfa-Prog, должна достигаться именно на краях кривой волатильности, где в наибольшей степени заметны искажения, вызванные “тяжелыми” хвостами распределений
До аналитических формул такую модель ценообразования, скорее всего, раскрутить не удастся (вероятностная свертка распределений – жутко громоздкая штука), но посчитать теоретические цены численно совсем не сложно
Так что, возможно, на искажениях IV можно играть, но только на коротких сериях.
Потому, Даешь недельные опционы!
avatar

Kurbakovsky

Kurbakovsky,
Виталий, с последним тезисом согласен, причем короткие опционы по моему разумению существенно нужнее тем, кто сейчас спекулирует фьючерсом, а не заядлым опционщикам.

Модель предлагаете в чем-то интересную, но, как верно замечаете, не считаемую… Да и почему режимов всего 2? Откуда брать эту непрерывно меняющуюся альфу? Короче, я бы сказал, что модель любопытная, но закапываться в нее не стоит…

А вот по поводу вашей модели улыбки (не с последнего НОКа) — которую вы когда-то публиковали в F&O. Вы не хотите ее еще раз опубликовать — ну, хоть на том же смарт-лабе? А то даже в разговоре отослать людей не к чему — доступ к архиву F&O за 2009-2010 год на сайте журнала не предлагается.
А ведь улыбка весьма интересная: параметров всего 3, один — волатильность на деньгах, еще 2 отвечают один за правое крыло, другой за левое. Вы сами-то пользуетесь той моделью или уже перешли к более современным разработкам?

Пробовал найти сайт ЗАО «Математика финансов» — думал, может, там статьи выкладываете, но не сумел. Шифруетесь или я искал плоховато?
Добрый вечер, Андрей. Нет, мы не шифруемся, у нас даже сайт был. Проблема обычная — некому поддерживать, работы много, людей мало.
Спасибо, что не отнеслись к модели серьезно — это первое, что пришло в голову, когда думал о том, можно ли играть на искажениях, вызванных тяжелыми хвостами. Очень хорошую идею подсказал broker25 (господи, насколько проще по имени обращаться) — играть можно, но только на коротких опционах и только тогда, когда будущее распределение явно отличается от прошлого, на основании которого сформировалось кривая IV.
Что касается статьи, спасибо за предложение. Здесь две проблемы. Первая — время, второе — не уверен, что она будет кому-то интересна. Подавляющее большинство опционных трейдеров вполне удовлетворены классической теорией. В этом смысле пост broker'a25 (господи, опять) очень показателен. Такое ощущение, что все остальные просто начитались Талеба и уверены, что «тяжелые хвосты» — это единственная причина искривления кривой IV. Здесь мне больше по душе предложение Каленковича — серьезные темы — для спецов.
С уважением, Курбаковский
PS Если не секрет, сами какие модели используете. Я — только свою, чего уж скромничать, она действительно хорошая.
Kurbakovsky,
сам пользуюсь подавленными устойчивыми Леви, ссылку на которую дал выше. Только пришлось еще «снаружи» к той модели добавить отрицательную корреляцию волы и базового актива — достаточно топорно и грубо, вне сути модели. Средней паршивости получился довесочек, но без его учета точно торговать нельзя.

Так что теперь уже, может, и не стал бы зарываться в Леви, раз все равно пришлось сверху навинчивать дополнительные сложности. Но, сейчас уж «привычка свыше нам дана» — как когда-то сделал, так и освоился уже, знаю, где что от каких параметров ждать. Это, кстати, очень важно при реальном трейдинге, что я уже отметил выше.

Сама модель устойчивых Леви тоже достаточно жесткая (классическая 3-х параметрическая, если делать дисперсию конечной, подавляя хвосты, как в статье по ссылке) — то 4-х. То есть, в этом плане близко к вашей по числу параметров.

broker25 выше мне ответил, что ваша статья опубликована в Вестнике Науфор. Я, кстати, не знал. Если они высылают — ну, наверное, тогда и нет смысла больше переопубликовывать.

Про сайт мне просто думалось, что он по логике позволяет привлекать клиентов — то есть, это вещь себя надежно окупающая (и при том весьма недорогая по сравнению с человеком-сейлзом :) ). Поэтому и удивился, что не нашел. Если надумаете опять поддерживать — надеюсь, разместите статьи. И сайт солиднее, и интересующимся опционной тематикой не надо никуда писать с просьбой им что-то выслать :).
Kurbakovsky, к сожалению, не смог найти в сети Вашу статью. Может быть, поделитесь ссылкой или копию вышлете?
Я торгую трендследящие стратегии с помошью роботов. Чисто эмпирически установил, что динамика волатильности — значимый фактор, учет которого очень полезен. Перебрал десятки примитивных способов расчета, от ATR до VIX, что-то реально использую. Хотелось бы понять Ваш подход. С уважением, Сергей.
SergeyJu, Здравствуйте, Сергей. Извините, я редко заглядываю на эту почту. Статью, действительно, трудно найти. У меня есть оригинал, если найду, сделаю и вышлю Вам скан. Кроме того, наверное, размещу скан с комментариями по модели на Smart-Lab
С уважением, Курбаковский
Kurbakovsky, буду благодарен.
С уважением, Сергей.
Пока предыдущее писал, размышлял о модели. Во-первых, я явно погорячился, сказав, что она в вычислительном плане непробиваемая. Судите сами — приращение логарифма терминального состояния можно представить, как сумму двух независимых нормально распределенных СВ. А если так, то, возможно, и условное МО можно аналитически вычислить
Второе — у Alfa есть физический смысл. Именно этим термином пользуются трейдеры при анализе рынка — грохнет или не грохнет до экспирации. Если может грохнуть, то с какой вероятностью, а это и есть Alfa. Для пары толковых студентов — отличная практика.
Kurbakovsky, Идея интересная, хотя немного из другой темы.
Я пока пытался разобраться с эмпирическим распределением.
У Вас же речь идет скорее о стохастической волатильности,
Думаю, на смартлабе есть народ, который этим занимался.
Может лучше идею повесить отдельным постом?
я мало занимался стох. волой, но конечно могу выразить свое имхо.
Стох. моделей много, но отличие Вашей в том, что она настраивается вручную.
Соответственно, бэктестить ее трудно.
Два варианта
1. Продавать после прыжка. Тогда калибровка по текущей улыбке и историческим изменениям улыбки после ожидаемых событий.
2. Держать до экспирации. Тогда возникает вопрос касательно адекватности улыбки на коротких сроках.
Возможно она выводится не только из свойств распределений. Есть еще страховая премия.
И премия за кредитные деньги ( из презентации).
И, конечно, моделей прыжков можно придумать много, даже с одним параметром Alfa
Идею снимаю. Все сводится к тривиальному случаю. На выходе получим формулу БШ с волатильностью равной Sig1*Alfa+Sig2*(1-Alfa).
Тем не менее, Вам, broker25, она может оказаться полезной, объясняющей возникновение тяжелых хвостов и острой вершины эмпирического распределения. Будет время, помоделирую
avatar

Kurbakovsky

Спасибо за пост! Тоже пытался поиграть с эмпирическим распределением приращений (брал минутки фьюча RTS). У меня получилось следующее. Если просто взять историческое распределение приращений (вот например скрин для RTS-9.11: www.novationz.ru/html/option_tester/pubimg/DistrIncr_04.png ), потом по нему строить распределение цен на экспирацию, и по последнему вычислять отдельно цены для коллов и отдельно для путов, то не выполняется пут-колл паритет. Спасибо Олегу Мубаракшину (OM77), подсказал что для выполнения паритета матожидание распределения цен на экспу должно равняться текущей цене фьюча. Это совпадает с Вашим выводом, что нужно делать коррекцию на тренд.

У себя попробовал такую коррекцию: в историческом распределении приращений на каждое реальное приращение добавлял зеркальное, противоположного знака. У получившегося распределения цен на экспу МО стало равно текущему значению фьюча и пут-колл паритет стал выполняться идеально. Улыбка получилась с плоским горизонтальным дном. Это совпадает с Вашим вторым выводом. Правда у меня это получается на сроках и меньше 100дней. Вот улыбка, например, за два дня до экспы: www.novationz.ru/html/option_tester/pubimg/SmileIV_04.png. Края у нее подняты только потому, что ввел насильно условие: внутренняя стоимость опциона не может быть меньше 10п.

Если кол-во траекторий делать небольшим (1000, 10000), то дно получается кривое и только отдаленно напоминает горизонталь. Но при росте кол-ва, например, до 10млн траекторий, кривое дно вытягивается в идеальную горизонталь.

Не уверен правда, что допустимо делать такую коррекцию исторического распределения приращений (с добавлением зеркального приращения на каждое реальное). Наверное Ваша коррекция — более правильная. Правильно ли понимаю, что предлагаете из каждого реального приращения вычесть величину: (σ*σ/2)*(T-t)? И что такое (T-t)? Спасибо.
Gusan, если Вы посчитаете σ ( не стандартное, а среднекв. отклонение) для своего ряда приращений, то не приводя к году можно взять просто (σ*σ/2). Если σ — годовая, то T-t = 1/кол.минуток(или торговых минуток) в году. Касательно зеркальности, не совсем понял. То есть к Ln(Si/Si-1) добавляете -Ln(Si/Si-1)?
broker25, попробовал вычитать из каждого приращения величину (σ*σ/2), где сигма = СКО всех приращений. Но это не исключило тренд. Вот если вычитать просто матожидание всей выборки приращений из каждого, тогда тренд исключается (матожидание распределения цен на экспу = стартовому значению). Но это наверное неправильный метод исключения тренда.

Видимо, я ошибочно вычитаю эту величину (σ*σ/2) из каждого приращения (ведь тренд может быть и вверх и вниз, а эта величина всегда положительная). Не подскажете, что именно нужно делать с (σ*σ/2)?

Насчет зеркальности, делал так: если допустим эмпирическое распределение приращений (считаю их как относительное изменение (S_i+1 — S_i)/S_i, а не через логарифм) состоит только из двух приращений, +0.01% и -0.02%, то для построения распределения цен на экспу добавляю зеркальные и использую такое распределение: (+0.01%, -0.02%, -0.01%, +0.02%). Получается симметричное распределение, без тренда. Но не уверен — допустима ли такая коррекция, не меняет ли это слишком сильно исходное эмпирическое распределение?
Gusan, я считаю логарифмы
в конце беру экспоненту от суммы логарифмов,
чтобы избавиться от тренда, сначала вычесть среднее из каждого члена ряда логарифмов, а потом уже вычесть (σ*σ/2)
и все работает и теоретическое объяснение этому есть
— Минутки должны представлять репрезентативно и прыжки на следующий день и прыжки, которые получаются раз в один-два года. То есть испытаний должно быть очень много.
Длина торгового периода в минутах также весьма велика.
Я не знаю, хватит ли мощности ПК чтобы смоделировать этот процесс.
— я против зеркального отражения, тк форма эмпирического распределения слева и справа разная
broker25, спрашивал у одного статистика, он сказал что на небольших приращениях без разницы через логарифм считать или впрямую. Но попробовал сейчас через логарифм (каждое приращение считаю как Ln(S_i+1/S_i)) — картина та же самая. Если вычитать из каждого приращения только матожидание, то матожидание цен на экспу будет равно начальному значению и паритет пут-колл выполняется идеально. А если вычитать еще и (σ*σ/2), то и матожидание начинает отличаться от стартовой точки и паритет нарушается. Может все-таки я чего-то не допонял. Например, зачем потом экспоненту использовать?

С минутками и гепами поступаю так: создаю не одно, а три распределения приращений. Первое — приращения между минутками внутри дня, второе — приращения между последней минуткой вечерки и первой минуткой следующего дня, третье — приращения через выходные и праздники. И при генерации очередной траектории использую соответствующим образом все три распределения. Мне кажется, так будет вполне нормально учитывать гепы.

Строю распределение цен на экспу для каждого квартала отдельно. За квартал получается примерно 50тыс минуток. Если строить, например, 100000 траекторий длиной в три месяца, то у меня на ноуте примерно 5 минут занимают вычисления.

Насчет несимметричности распределения приращений. Смотрел все кварталы с 2010 (фьюч RTS). На глаз все распределения были вроде симметричны. Да и в БШ предполагают что распределение приращений — нормальное, а значит симметричное. Вот и решил попробовать внести насильно симметрию в эмпирическое распределение. Все равно, по идее, это должно более точное распределение цен на экспу дать, чем то что по БШ получается.
случайно выбираете li, а потом по формуле (1).

если хотите репрезентативное распределение на экспирацию, то надо включать данные за несколько лет. И траекторий столько, чтобы хотя бы 100 раз случались крупные гэпы. У меня если больше миллиона траекторий, то точнее результаты.

Распределение несимметрично, это хорошо видно если посчитать площадь хвоста слева и справа
avatar

broker25

broker25, спасибо, теперь понял. И тренд убрался, и паритет пут-колл выполняется без дополнительных ухищрений. Правда улыбка все равно получается с плоским днищем. Крайние ветви подняты только за счет того, что насильно ввел условие, что внутренняя стоимость опциона не может быть меньше 10п.

Думаю, может нужно полученное распределение цен на экспу (сгенерированное на приращениях) дополнительно подкорректировать (как-нибудь увеличить хвосты) так, чтобы при вычислении стоимости опционов на дальних страйках сразу выполнялось условие: внутренняя стоимость не меньше 10п. Может тогда моя ломанная улыбка превратиться в плавно изогнутую? Или плавная парабола должна получаться и без таких коррекций?
broker25, провел свое исследование — откуда получается улыбка волатильности. Если вкратце, то у меня получилось, что улыбка возникает не из-за толстых хвостов эмпирического распределения приращений, а из-за толстых хвостов распределения цен на экспу.
+1
avatar

dhong

спасибо.
avatar

domino


Только зарегистрированные и авторизованные пользователи могут оставлять комментарии.

Залогиниться

Зарегистрироваться
....все тэги
Регистрация
UP